有限数学例

$x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

ステップ 3

$4$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $4$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$4$ を多項式に代入します。

$4^{3} - 8 \cdot 4^{2} + 21 \cdot 4 - 20$

ステップ 3.2

$4$ を $3$ 乗します。

$64 - 8 \cdot 4^{2} + 21 \cdot 4 - 20$

ステップ 3.3

$4$ を $2$ 乗します。

$64 - 8 \cdot 16 + 21 \cdot 4 - 20$

ステップ 3.4

$- 8$ に $16$ をかけます。

$64 - 128 + 21 \cdot 4 - 20$

ステップ 3.5

$64$ から $128$ を引きます。

$- 64 + 21 \cdot 4 - 20$

ステップ 3.6

$21$ に $4$ をかけます。

$- 64 + 84 - 20$

ステップ 3.7

$- 64$ と $84$ をたし算します。

$20 - 20$

ステップ 3.8

$20$ から $20$ を引きます。

$0$

ステップ 4

$4$ は既知の根なので、多項式を $x - 4$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20}{x - 4}$

ステップ 5

$x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$ を $x - 4$ で割ります。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$4$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$21 x$

$20$

ステップ 5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$

ステップ 5.7

被除数 $- 4 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$

ステップ 5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

ステップ 5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x^{2} + 16 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$

ステップ 5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$

ステップ 5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$

ステップ 5.12

被除数 $5 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$

ステップ 5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							+	$5 x$	-	$20$

ステップ 5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $5 x - 20$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$

ステップ 5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$
										$0$

ステップ 5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 4 x + 5$

ステップ 6

$x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 4) (x^{2} - 4 x + 5)$

有限数学 例

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