有限数学例

$x^{6} + 72 x^{3} + 512$

ステップ 1

$x^{6}$ を ${(x^{3})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{3})}^{2} + 72 x^{3} + 512$

ステップ 2

$u = x^{3}$ とします。 $u$ を $x^{3}$ に代入します。

$u^{2} + 72 u + 512$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $u^{2} + 72 u + 512$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $512$ で、その和が $72$ です。

$8, 64$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u + 8) (u + 64)$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$(x^{3} + 8) (x^{3} + 64)$

ステップ 5

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$(x^{3} + 2^{3}) (x^{3} + 64)$

ステップ 6

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) (x^{3} + 64)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) (x^{3} + 64)$

ステップ 7.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x^{3} + 64)$

ステップ 8

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x^{3} + 4^{3})$

ステップ 9

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}))$

ステップ 10

因数分解。

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ステップ 10.1

簡約します。

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ステップ 10.1.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}))$

ステップ 10.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 16))$

ステップ 10.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)$

有限数学 例

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