有限数学例

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

ステップ 3

$- 0.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 0.5$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 0.5$ を多項式に代入します。

$2 {(- 0.5)}^{3} - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

ステップ 3.2

$- 0.5$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot - 0.125 - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

ステップ 3.3

$2$ に $- 0.125$ をかけます。

$- 0.25 - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

ステップ 3.4

$- 0.5$ を $2$ 乗します。

$- 0.25 - 5 \cdot 0.25 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

ステップ 3.5

$- 5$ に $0.25$ をかけます。

$- 0.25 - 1.25 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

ステップ 3.6

$- 0.25$ から $1.25$ を引きます。

$- 1.5 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

ステップ 3.7

$- 15$ に $- 0.5$ をかけます。

$- 1.5 + 7.5 - 6$

ステップ 3.8

$- 1.5$ と $7.5$ をたし算します。

$6 - 6$

ステップ 3.9

$6$ から $6$ を引きます。

$0$

ステップ 4

$- 0.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6}{2 x + 1}$

ステップ 5

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$ を $2 x + 1$ で割ります。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$15 x$

$6$

ステップ 5.2

被除数 $2 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

ステップ 5.7

被除数 $- 6 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

ステップ 5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$

ステップ 5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 6 x^{2} - 3 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$

ステップ 5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$

ステップ 5.12

被除数 $- 12 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$

ステップ 5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							-	$12 x$	-	$6$

ステップ 5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 12 x - 6$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$

ステップ 5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$
										$0$

ステップ 5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 3 x - 6$

ステップ 6

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x + 1) (x^{2} - 3 x - 6)$

有限数学 例

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