有限数学例

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + (k + 1) (k + 1)$

ステップ 1

分配法則（FOIL法）を使って $(k + 1) (k + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k (k + 1) + 1 (k + 1)$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)$

ステップ 1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

ステップ 2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$k$ に $k$ をかけます。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

ステップ 2.1.2

$k$ に $1$ をかけます。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1$

ステップ 2.1.3

$k$ に $1$ をかけます。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1$

ステップ 2.2

$k$ と $k$ をたし算します。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + 2 k + 1$

ステップ 3

$k^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} \cdot \frac{6}{6} + 2 k + 1$

ステップ 4

$k^{2}$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + \frac{k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

ステップ 6

項を並べ替えます。

$2 k + \frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 1$

ステップ 7

各項から $\frac{1}{6}$ をくくり出します。

$\frac{1}{6} (12 k + (k (k + 1)) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 8

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k \cdot k + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 9

$k$ に $k$ をかけます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 10

$k$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 11

分配法則（FOIL法）を使って $(k^{2} + k) (2 k + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k + 1) + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 11.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 12.1.2

指数を足して $k^{2}$ に $k$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

$k$ を移動させます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 12.1.2.2

$k$ に $k^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.2.1

$k$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 12.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 12.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 12.1.3

$k^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 12.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k \cdot k + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 12.1.5

指数を足して $k$ に $k$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.5.1

$k$ を移動させます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 (k \cdot k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 12.1.5.2

$k$ に $k$ をかけます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 12.1.6

$k$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 12.2

$k^{2}$ と $2 k^{2}$ をたし算します。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

ステップ 13

$6$ を $k^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + 6 k^{2} + 6)$

ステップ 14

$12 k$ と $k$ をたし算します。

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 3 k^{2} + 13 k + 6 k^{2} + 6)$

ステップ 15

$3 k^{2}$ と $6 k^{2}$ をたし算します。

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6)$

ステップ 16

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

因数分解した形で $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ を書き換えます。

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ステップ 16.1.1

有理根検定を用いて $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 16.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

ステップ 16.1.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

$2 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

ステップ 16.1.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

ステップ 16.1.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

ステップ 16.1.1.3.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 2 + 9 \cdot 1 + 13 \cdot - 1 + 6$

ステップ 16.1.1.3.5

$9$ に $1$ をかけます。

$- 2 + 9 + 13 \cdot - 1 + 6$

ステップ 16.1.1.3.6

$- 2$ と $9$ をたし算します。

$7 + 13 \cdot - 1 + 6$

ステップ 16.1.1.3.7

$13$ に $- 1$ をかけます。

$7 - 13 + 6$

ステップ 16.1.1.3.8

$7$ から $13$ を引きます。

$- 6 + 6$

ステップ 16.1.1.3.9

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$0$

ステップ 16.1.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $k + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6}{k + 1}$

ステップ 16.1.1.5

$2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ を $k + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$k$

$1$

$2 k^{3}$

$9 k^{2}$

$13 k$

$6$

ステップ 16.1.1.5.2

被除数 $2 k^{3}$ の最高次項を除数 $k$ の最高次項で割ります。

					$2 k^{2}$
	$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$

ステップ 16.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			+	$2 k^{3}$	+	$2 k^{2}$

ステップ 16.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 k^{3} + 2 k^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$

ステップ 16.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$

ステップ 16.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

ステップ 16.1.1.5.7

被除数 $7 k^{2}$ の最高次項を除数 $k$ の最高次項で割ります。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

ステップ 16.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					+	$7 k^{2}$	+	$7 k$

ステップ 16.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $7 k^{2} + 7 k$ の符号をすべて変更します。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$

ステップ 16.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$

ステップ 16.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

ステップ 16.1.1.5.12

被除数 $6 k$ の最高次項を除数 $k$ の最高次項で割ります。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

ステップ 16.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							+	$6 k$	+	$6$

ステップ 16.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $6 k + 6$ の符号をすべて変更します。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$

ステップ 16.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$
										$0$

ステップ 16.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$2 k^{2} + 7 k + 6$

ステップ 16.1.1.6

$2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ を因数の集合として書き換えます。

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6))$

ステップ 16.1.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ で和が $b = 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.2.1.1.1

$7$ を $7 k$ で因数分解します。

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 (k) + 6))$

ステップ 16.1.2.1.1.2

$7$ を $3$ プラス $4$ に書き換える

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + (3 + 4) k + 6))$

ステップ 16.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 3 k + 4 k + 6))$

ステップ 16.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k^{2} + 3 k) + 4 k + 6))$

ステップ 16.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (k (2 k + 3) + 2 (2 k + 3)))$

ステップ 16.1.2.1.3

最大公約数 $2 k + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k + 3) (k + 2)))$

ステップ 16.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k + 3) (k + 2))$

ステップ 16.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{1}{6} \cdot (k + 1) (2 k + 3) (k + 2)$

有限数学 例

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