有限数学例

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9} - \frac{2 x - 3}{x - 3}$

ステップ 1

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 3}{x - 3}$ を掛けます。

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2 x - 3}{x - 3}$

ステップ 2

$- \frac{2 x - 3}{x - 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$ を掛けます。

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2 x - 3}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$

ステップ 3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x^{2} - 9) (x - 3)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9}$ に $\frac{x - 3}{x - 3}$ をかけます。

$\frac{(4 x - 3) (x - 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3)} - \frac{2 x - 3}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$

ステップ 3.2

$\frac{2 x - 3}{x - 3}$ に $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$ をかけます。

$\frac{(4 x - 3) (x - 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3)} - \frac{(2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 3.3

$(x^{2} - 9) (x - 3)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(4 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} - \frac{(2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(4 x - 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5

因数分解した形で $\frac{(4 x - 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$ を書き換えます。

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ステップ 5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x - 3) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x (x - 3) - 3 (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} - 12 x - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.2.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} - 12 x - 3 x + 9 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.2.2

$- 12 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 + (- (2 x) - - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 + (- 2 x - - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.5

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 + (- 2 x + 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.6

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x + 3) (x^{2} - 9)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x (x^{2} - 9) + 3 (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + 3 (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.7.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.7.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.7.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.7.2

$- 9$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} + 18 x + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.7.3

$3$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} + 18 x + 3 x^{2} - 27}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.8

$4 x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{7 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} + 18 x - 27}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.9

$- 15 x$ と $18 x$ をたし算します。

$\frac{7 x^{2} + 3 x + 9 - 2 x^{3} - 27}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.10

$9$ から $27$ を引きます。

$\frac{7 x^{2} + 3 x - 2 x^{3} - 18}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.11

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.12

因数分解した形で $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ を書き換えます。

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ステップ 5.12.1

有理根検定を用いて $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ を因数分解します。

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ステップ 5.12.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 5.12.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 18, \pm 9, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 6$

ステップ 5.12.1.3

$2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $2$ は多項式の根です。

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ステップ 5.12.1.3.1

$2$ を多項式に代入します。

$- 2 \cdot 2^{3} + 7 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 18$

ステップ 5.12.1.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$- 2 \cdot 8 + 7 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 18$

ステップ 5.12.1.3.3

$- 2$ に $8$ をかけます。

$- 16 + 7 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 18$

ステップ 5.12.1.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$- 16 + 7 \cdot 4 + 3 \cdot 2 - 18$

ステップ 5.12.1.3.5

$7$ に $4$ をかけます。

$- 16 + 28 + 3 \cdot 2 - 18$

ステップ 5.12.1.3.6

$- 16$ と $28$ をたし算します。

$12 + 3 \cdot 2 - 18$

ステップ 5.12.1.3.7

$3$ に $2$ をかけます。

$12 + 6 - 18$

ステップ 5.12.1.3.8

$12$ と $6$ をたし算します。

$18 - 18$

ステップ 5.12.1.3.9

$18$ から $18$ を引きます。

$0$

ステップ 5.12.1.4

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18}{x - 2}$

ステップ 5.12.1.5

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ を $x - 2$ で割ります。

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ステップ 5.12.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$18$

ステップ 5.12.1.5.2

被除数 $- 2 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$

ステップ 5.12.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

ステップ 5.12.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 5.12.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

ステップ 5.12.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 5.12.1.5.7

被除数 $3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 5.12.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

ステップ 5.12.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{2} - 6 x$ の符号をすべて変更します。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 5.12.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$

ステップ 5.12.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$

ステップ 5.12.1.5.12

被除数 $9 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$

ステップ 5.12.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

ステップ 5.12.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $9 x - 18$ の符号をすべて変更します。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

ステップ 5.12.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

ステップ 5.12.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- 2 x^{2} + 3 x + 9$

ステップ 5.12.1.6

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ を因数の集合として書き換えます。

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} + 3 x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.12.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 2 \cdot 9 = - 18$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.12.2.1.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} + 3 (x) + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.12.2.1.1.2

$3$ を $- 3$ プラス $6$ に書き換える

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} + (- 3 + 6) x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.12.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} - 3 x + 6 x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.12.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(x - 2) ((- 2 x^{2} - 3 x) + 6 x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.12.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{(x - 2) (x (- 2 x - 3) - 3 (- 2 x - 3))}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.12.2.1.3

最大公約数 $- 2 x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(x - 2) ((- 2 x - 3) (x - 3))}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.12.2.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

ステップ 5.13

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 3^{2})}$

ステップ 5.14

因数分解。

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ステップ 5.14.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) ((x + 3) (x - 3))}$

ステップ 5.14.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3) (x - 3)}$

ステップ 5.15

指数をまとめます。

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ステップ 5.15.1

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{1} (x - 3) (x + 3)}$

ステップ 5.15.2

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1} (x + 3)}$

ステップ 5.15.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{1 + 1} (x + 3)}$

ステップ 5.15.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

ステップ 5.16

今日数因数で約分することで式 $\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$ を約分します。

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ステップ 5.16.1

$x - 3$ を $(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 3) ((x - 2) (- 2 x - 3))}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

ステップ 5.16.2

$x - 3$ を ${(x - 3)}^{2} (x + 3)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 3) ((x - 2) (- 2 x - 3))}{(x - 3) ((x - 3) (x + 3))}$

ステップ 5.16.3

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 3) ((x - 2) (- 2 x - 3))}{(x - 3) ((x - 3) (x + 3))}$

ステップ 5.16.4

式を書き換えます。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

ステップ 6

因数分解。

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ステップ 6.1

$- 1$ を $- 2 x - 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{(x - 2) (- (2 x) - 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

ステップ 6.1.2

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$\frac{(x - 2) (- (2 x) - 1 (3))}{(x - 3) (x + 3)}$

ステップ 6.1.3

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (3)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 2) (- (2 x + 3))}{(x - 3) (x + 3)}$

ステップ 6.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{(x - 2) \cdot - 1 (2 x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

ステップ 7

負をくくり出します。

$\frac{- ((x - 2) (2 x + 3))}{(x - 3) (x + 3)}$

ステップ 8

不要な括弧を削除します。

$\frac{- (x - 2) (2 x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

有限数学 例

有限数学例