有限数学例

$f (x) = (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})$

ステップ 1

$f (x) = (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})$ を方程式で書きます。

$y = (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1} = x$ として書き換えます。

$\frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1} = x$

ステップ 3.2

両辺に $e^{3 y} + 1$ を掛けます。

$\frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1} (e^{3 y} + 1) = x (e^{3 y} + 1)$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$e^{3 y} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1} (e^{3 y} + 1) = x (e^{3 y} + 1)$

ステップ 3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$e^{3 y} = x (e^{3 y} + 1)$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$x (e^{3 y} + 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$e^{3 y} = x e^{3 y} + x \cdot 1$

ステップ 3.3.2.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{3 y} = x e^{3 y} + x$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $x e^{3 y}$ を引きます。

$e^{3 y} - x e^{3 y} = x$

ステップ 3.4.2

$e^{3 y}$ を $e^{3 y} - x e^{3 y}$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.2.1

$1$ を掛けます。

$e^{3 y} \cdot 1 - x e^{3 y} = x$

ステップ 3.4.2.2

$e^{3 y}$ を $- x e^{3 y}$ で因数分解します。

$e^{3 y} \cdot 1 + e^{3 y} (- x) = x$

ステップ 3.4.2.3

$e^{3 y}$ を $e^{3 y} \cdot 1 + e^{3 y} (- x)$ で因数分解します。

$e^{3 y} (1 - x) = x$

ステップ 3.4.3

$e^{3 y} (1 - x) = x$ の各項を $1 - x$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$e^{3 y} (1 - x) = x$ の各項を $1 - x$ で割ります。

$\frac{e^{3 y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

ステップ 3.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{3 y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

ステップ 3.4.3.2.1.2

$e^{3 y}$ を $1$ で割ります。

$e^{3 y} = \frac{x}{1 - x}$

ステップ 3.4.4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{3 y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

ステップ 3.4.5

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$3 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{3 y})$ を展開します。

$3 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

ステップ 3.4.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$3 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - x})$

ステップ 3.4.5.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 y = \ln (\frac{x}{1 - x})$

ステップ 3.4.6

$3 y = \ln (\frac{x}{1 - x})$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.6.1

$3 y = \ln (\frac{x}{1 - x})$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$

ステップ 3.4.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$

ステップ 3.4.6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ が $f (x) = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \frac{\ln (\frac{\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}}{1 - (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})})}{3}$

ステップ 5.2.3

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (\frac{\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})$ を簡約します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

$e^{3 x}$ を ${(e^{x})}^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{{(e^{x})}^{3} + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.5.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{{(e^{x})}^{3} + 1^{3}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.5.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{x}$ であり、 $b = 1$ です。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) ({(e^{x})}^{2} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.5.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.4.1

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.4.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{x \cdot 2} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.5.4.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.5.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} + 1^{2})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.5.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} + 1)} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.5.4.4

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$e^{3 x}$ を ${(e^{x})}^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{{(e^{x})}^{3} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.6.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{{(e^{x})}^{3} + 1^{3}}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.6.3

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) ({(e^{x})}^{2} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.6.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.4.1

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.4.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{x \cdot 2} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.6.4.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.6.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} + 1^{2})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.6.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} + 1)}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.6.4.4

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.3.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})$ を展開します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{x} e^{2 x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.3.2.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.3.2.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{x + 2 x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.2.1.2

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.2.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} + e^{x} (- e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{x} e^{x} + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.2.4

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.3.2.4.1

$e^{x}$ を移動させます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - (e^{x} e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.2.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{x + x} + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.2.4.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.2.5

$e^{2 x}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.2.6

$1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x} + 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.2.7

$- e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x} + 1 - e^{x} - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.3

$e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x} + 1 - e^{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.3.3.1

$- e^{2 x}$ と $e^{2 x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} + 0 + 1 - e^{x} - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.3.2

$e^{3 x} + e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} + 1 - e^{x} - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.3.3

$e^{x}$ から $e^{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + 0 + 1 - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.3.4

$e^{3 x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + 1 - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.4

$e^{3 x}$ から $e^{3 x}$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.7.3.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

まとめる。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x} \cdot 1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) (\frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})})})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.8.2

$e^{3 x}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) (\frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})})})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.9

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}$ を $\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) \frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({((e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) (\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}))}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.10

$(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.10.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({((e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) (\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}))}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.10.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(e^{3 x})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5.2.11

${(e^{3 x})}^{\frac{1}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.11.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln (e^{3 x (\frac{1}{3})})$

ステップ 5.2.11.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.11.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln (e^{3 (x) (\frac{1}{3})})$

ステップ 5.2.11.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln (e^{3 x (\frac{1}{3})})$

ステップ 5.2.11.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln (e^{x})$

ステップ 5.2.12

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = x \ln (e)$

ステップ 5.2.13

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = x \cdot 1$

ステップ 5.2.14

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

ステップ 5.3.3

括弧を削除します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

ステップ 5.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

ステップ 5.3.4.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - x})}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

ステップ 5.3.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

ステップ 5.3.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$e^{3 \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}}$ を ${(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{3}$ に書き換えます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{{(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{3} + 1}$

ステップ 5.3.5.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{{(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{3} + 1^{3}}$

ステップ 5.3.5.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}}$ であり、 $b = 1$ です。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 5.3.5.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.4.1

$\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ を $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ に書き換えます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x}{1 - x})} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 5.3.5.4.2

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(e^{\ln ({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}})} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 5.3.5.4.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 5.3.5.4.4

積の法則を $\frac{x}{1 - x}$ に当てはめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 5.3.5.4.5

$\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ を $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ に書き換えます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x}{1 - x})})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 5.3.5.4.6

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(e^{\ln ({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}})})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 5.3.5.4.7

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 5.3.5.4.8

${({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.4.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3} \cdot 2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 5.3.5.4.8.2

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{2}{3}} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 5.3.5.4.9

積の法則を $\frac{x}{1 - x}$ に当てはめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 5.3.5.4.10

$\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ を $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ に書き換えます。

ステップ 5.3.5.4.11

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ を簡約します。

ステップ 5.3.5.4.12

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - {(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 5.3.5.4.13

積の法則を $\frac{x}{1 - x}$ に当てはめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 5.3.5.4.14

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1^{2})}$

ステップ 5.3.5.4.15

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1)}$

ステップ 5.3.5.4.16

項を並べ替えます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + 1 - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 5.3.5.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + 1 - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 5.3.5.6

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + 1 - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 5.3.5.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 5.3.5.8

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

ステップ 5.3.5.9

$- \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ を掛けます。

ステップ 5.3.5.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.10.1

$\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ に $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

ステップ 5.3.5.10.2

指数を足して ${(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ に ${(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.10.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

ステップ 5.3.5.10.2.2

公分母の分子をまとめます。

ステップ 5.3.5.10.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

ステップ 5.3.5.11

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}}$

ステップ 5.3.5.12

項を並べ替えます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}}$

ステップ 5.3.6

$\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ に $\frac{- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}}$

ステップ 5.3.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

指数を足して ${(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ に ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

ステップ 5.3.7.1.2

公分母の分子をまとめます。

ステップ 5.3.7.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

ステップ 5.3.7.1.4

$3$ を $3$ で割ります。

ステップ 5.3.7.2

${(1 - x)}^{1}$ を簡約します。

ステップ 5.3.8

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 5.3.9

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.3.9.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = x (\frac{1}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})})$

ステップ 5.3.10

$x$ と $\frac{1}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$ をまとめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 5.3.11

$- 1$ を $- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 5.3.12

$- 1$ を $x^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) - 1 (- x^{\frac{2}{3}}) + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 5.3.13

$- 1$ を $- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) - 1 (- x^{\frac{2}{3}})$ で因数分解します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}) + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 5.3.14

$- 1$ を ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}) - 1 (- {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}))}$

ステップ 5.3.15

$- 1$ を $- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}) - 1 (- {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})$ で因数分解します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}))}$

ステップ 5.3.16

負の数を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.16.1

$- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})$ を $- 1 (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})$ に書き換えます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- 1 (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}))}$

ステップ 5.3.16.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = - \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ は $f (x) = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$

有限数学 例

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