有限数学例

$f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt[3]{x^{7}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt[3]{y^{7}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sqrt[3]{y^{7}} = x$ として書き換えます。

$\sqrt[3]{y^{7}} = x$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{y^{7}}}^{3} = x^{3}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{y^{7}}$ を $y^{\frac{7}{3}}$ に書き換えます。

${(y^{\frac{7}{3}})}^{3} = x^{3}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${(y^{\frac{7}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{7}{3} \cdot 3} = x^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{7}{3} \cdot 3} = x^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{7} = x^{3}$

ステップ 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[7]{x^{3}}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$ が $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(\sqrt[3]{x^{7}})}^{3}}$

ステップ 5.2.3

$x^{7}$ を ${(x^{2})}^{3} x$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.3.1

$x^{6}$ を因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{\sqrt[3]{x^{6} x}}^{3}}$

ステップ 5.2.3.2

$x^{6}$ を ${(x^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} x}}^{3}}$

ステップ 5.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(x^{2} \sqrt[3]{x})}^{3}}$

ステップ 5.2.5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.2.5.1

積の法則を $x^{2} \sqrt[3]{x}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(x^{2})}^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

ステップ 5.2.5.2

${(x^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{2 \cdot 3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

ステップ 5.2.5.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

ステップ 5.2.6

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 5.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 5.2.6.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.2.6.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.2.6.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

ステップ 5.2.6.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

ステップ 5.2.7

指数を足して $x^{6}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.2.7.1

$x^{6}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 5.2.7.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

ステップ 5.2.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6 + 1}}$

ステップ 5.2.7.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

ステップ 5.2.8

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[7]{x^{3}})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{{(\sqrt[7]{x^{3}})}^{7}}$

ステップ 5.3.3

${\sqrt[7]{x^{3}}}^{7}$ を $x^{3}$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{x^{3}}$ を $x^{\frac{3}{7}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{{(x^{\frac{3}{7}})}^{7}}$

ステップ 5.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{7} \cdot 7}}$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{3}{7}$ と $7$ をまとめます。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3 \cdot 7}{7}}}$

ステップ 5.3.3.4

$3$ に $7$ をかけます。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{21}{7}}}$

ステップ 5.3.3.5

$21$ と $7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

$7$ を $21$ で因数分解します。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7}}}$

ステップ 5.3.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.2.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7 (1)}}}$

ステップ 5.3.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7 \cdot 1}}}$

ステップ 5.3.3.5.2.3

式を書き換えます。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{1}}}$

ステップ 5.3.3.5.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

ステップ 5.3.4

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$ は $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$

有限数学 例

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