有限数学例

$f (t) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$

ステップ 1

$f (t) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ を方程式で書きます。

$y = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$u = - 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3) = u$ として書き換えます。

$- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3) = u$

ステップ 3.2

$- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$- 4 y t - 4 y \cdot - 4 + 4 y (t - 3) = u$

ステップ 3.2.1.2

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$- 4 y t + 16 y + 4 y (t - 3) = u$

ステップ 3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$- 4 y t + 16 y + 4 y t + 4 y \cdot - 3 = u$

ステップ 3.2.1.4

$- 3$ に $4$ をかけます。

$- 4 y t + 16 y + 4 y t - 12 y = u$

ステップ 3.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 4 y t + 16 y + 4 y t - 12 y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- 4 y t$ と $4 y t$ をたし算します。

$16 y + 0 - 12 y = u$

ステップ 3.2.2.1.2

$16 y$ と $0$ をたし算します。

$16 y - 12 y = u$

ステップ 3.2.2.2

$16 y$ から $12 y$ を引きます。

$4 y = u$

ステップ 3.3

$4 y = u$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$4 y = u$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y}{4} = \frac{u}{4}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y}{4} = \frac{u}{4}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{u}{4}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (u)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$

ステップ 5

$f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$ が $f (u) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (u)) = u$ と $f (f^{- 1} (u)) = u$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (u))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (u))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)}{4}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$4 u$ を $- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$4 u$ を $- 4 u (t - 4)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 (t - 4)) + 4 u (t - 3)}{4}$

ステップ 5.2.3.1.2

$4 u$ を $4 u (- 1 (t - 4)) + 4 u (t - 3)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 (t - 4) + t - 3)}{4}$

ステップ 5.2.3.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 t - 1 \cdot - 4 + t - 3)}{4}$

ステップ 5.2.3.3

$- 1 t$ を $- t$ に書き換えます。

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- t - 1 \cdot - 4 + t - 3)}{4}$

ステップ 5.2.3.4

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- t + 4 + t - 3)}{4}$

ステップ 5.2.3.5

$- t$ と $t$ をたし算します。

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (0 + 4 - 3)}{4}$

ステップ 5.2.3.6

$0$ と $4$ をたし算します。

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (4 - 3)}{4}$

ステップ 5.2.3.7

$4$ から $3$ を引きます。

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u \cdot 1}{4}$

ステップ 5.2.3.8

$4$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u}{4}$

ステップ 5.2.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u}{4}$

ステップ 5.2.4.2

$u$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = u$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (u))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (u))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{u}{4})$ の値を求めます。

$f (\frac{u}{4}) = - 4 \frac{u}{4} (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) (t - 3)$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$f (\frac{u}{4}) = 4 (- 1) (\frac{u}{4}) \cdot (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

ステップ 5.3.3.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{u}{4}) = 4 \cdot (- 1 \frac{u}{4}) \cdot (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

ステップ 5.3.3.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{u}{4}) = - 1 u (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

ステップ 5.3.3.2

$- 1 u$ を $- u$ に書き換えます。

$f (\frac{u}{4}) = - u (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

ステップ 5.3.3.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{u}{4}) = - u t - u \cdot - 4 + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

ステップ 5.3.3.4

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

ステップ 5.3.3.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

ステップ 5.3.3.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u (t - 3)$

ステップ 5.3.3.6

分配則を当てはめます。

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u t + u \cdot - 3$

ステップ 5.3.3.7

$- 3$ を $u$ の左に移動させます。

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u t - 3 u$

ステップ 5.3.4

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$- u t + 4 u + u t - 3 u$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

$- u t$ と $u t$ をたし算します。

$f (\frac{u}{4}) = 4 u + 0 - 3 u$

ステップ 5.3.4.1.2

$4 u$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{u}{4}) = 4 u - 3 u$

ステップ 5.3.4.2

$4 u$ から $3 u$ を引きます。

$f (\frac{u}{4}) = u$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (u)) = u$ と $f (f^{- 1} (u)) = u$ なので、 $f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$ は $f (u) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ の逆です。

$f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$

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