有限数学例

$f (x) = \log_{3} (x - 4) + 2$

ステップ 1

$f (x) = \log_{3} (x - 4) + 2$ を方程式で書きます。

$y = \log_{3} (x - 4) + 2$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \log_{3} (y - 4) + 2$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\log_{3} (y - 4) + 2 = x$ として書き換えます。

$\log_{3} (y - 4) + 2 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\log_{3} (y - 4) = x - 2$

ステップ 3.3

対数の定義を利用して $\log_{3} (y - 4) = x - 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{x - 2} = y - 4$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を $y - 4 = 3^{x - 2}$ として書き換えます。

$y - 4 = 3^{x - 2}$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = 3^{x - 2} + 4$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 2} + 4$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 2} + 4$ が $f (x) = \log_{3} (x - 4) + 2$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = 3^{(\log_{3} (x - 4) + 2) - 2} + 4$

ステップ 5.2.3

$3^{(\log_{3} (x - 4) + 2) - 2} + 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.3.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = 3^{\log_{3} (x - 4) + 0} + 4$

ステップ 5.2.3.2

$\log_{3} (x - 4)$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = 3^{\log_{3} (x - 4)} + 4$

ステップ 5.2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = x - 4 + 4$

ステップ 5.2.5

$x - 4 + 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.5.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = x + 0$

ステップ 5.2.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (3^{x - 2} + 4)$ の値を求めます。

$f (3^{x - 2} + 4) = \log_{3} ((3^{x - 2} + 4) - 4) + 2$

ステップ 5.3.3

$\log_{3} ((3^{x - 2} + 4) - 4) + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$4$ から $4$ を引きます。

$f (3^{x - 2} + 4) = \log_{3} (3^{x - 2} + 0) + 2$

ステップ 5.3.3.2

$3^{x - 2}$ と $0$ をたし算します。

$f (3^{x - 2} + 4) = \log_{3} (3^{x - 2}) + 2$

ステップ 5.3.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

対数の法則を利用して指数の外に $x - 2$ を移動します。

$f (3^{x - 2} + 4) = (x - 2) \log_{3} (3) + 2$

ステップ 5.3.4.2

$3$ の対数の底 $3$ は $1$ です。

$f (3^{x - 2} + 4) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

ステップ 5.3.4.3

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$f (3^{x - 2} + 4) = x - 2 + 2$

ステップ 5.3.5

$x - 2 + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.5.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f (3^{x - 2} + 4) = x + 0$

ステップ 5.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (3^{x - 2} + 4) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 3^{x - 2} + 4$ は $f (x) = \log_{3} (x - 4) + 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 2} + 4$

有限数学 例

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