有限数学例

$f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{- 5}{y^{2 - 4}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{- 5}{y^{2 - 4}} = x$ として書き換えます。

$\frac{- 5}{y^{2 - 4}} = x$

ステップ 3.2

各項を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して $y^{2 - 4}$ を分子に移動させます。

$- 5 y^{- (2 - 4)} = x$

ステップ 3.2.2

$2$ から $4$ を引きます。

$- 5 y^{- - 2} = x$

ステップ 3.2.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- 5 y^{2} = x$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

$- 5 y^{2} = x$ の各項を $- 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$- 5 y^{2} = x$ の各項を $- 5$ で割ります。

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

ステップ 3.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

$- 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

ステップ 3.3.1.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x}{- 5}$

ステップ 3.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{x}{5}$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{5}}$

ステップ 3.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.3.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

ステップ 3.3.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

ステップ 3.3.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ が $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, 0]$

ステップ 5.3

$\sqrt{- \frac{x}{5}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{- \frac{x}{5}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- \frac{x}{5} \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.3.2.1

$- \frac{x}{5} \geq 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$- \frac{x}{5} \geq 0$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- \frac{x}{5}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.3.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{x}{5}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

$\frac{x}{5}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x}{5} \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.3.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$\frac{x}{5} \leq 0$

ステップ 5.3.2.2

両辺に $5$ を掛けます。

$\frac{x}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

ステップ 5.3.2.3

簡約します。

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ステップ 5.3.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

ステップ 5.3.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x \leq 0 \cdot 5$

ステップ 5.3.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.3.2.1

$0$ に $5$ をかけます。

$x \leq 0$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0]$

ステップ 5.4

$f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

$\frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2 - 4} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.4.2.1

$x^{2 - 4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$2$ から $4$ を引きます。

$x^{- 2} = 0$

ステップ 5.4.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

ステップ 5.4.2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 5.4.2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 5.4.3

$x^{2 - 4}$ の底辺を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 5.4.4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5.5

逆の値域を求めます。

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ステップ 5.5.1

$\sqrt{- \frac{x}{5}}$ の値域を求めます。

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ステップ 5.5.1.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[0, \infty)$

ステップ 5.5.2

$- \sqrt{- \frac{x}{5}}$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, 0]$

ステップ 5.5.3

$[0, \infty), (- \infty, 0]$ の和集合を求めます。

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ステップ 5.5.3.1

和集合は各区間に含まれる要素からなります。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.6

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ の値域が $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ の定義域に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ は $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ の逆ではありません。

逆はありません

ステップ 6

有限数学 例

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