有限数学例

$f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{3 x}{x + 5}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{3 y}{y + 5}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{3 y}{y + 5} = x$ として書き換えます。

$\frac{3 y}{y + 5} = x$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y + 5, 1$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$y + 5, 1$

ステップ 3.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y + 5$

ステップ 3.3

$\frac{3 y}{y + 5} = x$ の各項に $y + 5$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{3 y}{y + 5} = x$ の各項に $y + 5$ を掛けます。

$\frac{3 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$y + 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$3 y = x (y + 5)$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

分配則を当てはめます。

$3 y = x y + x \cdot 5$

ステップ 3.3.3.2

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$3 y = x y + 5 x$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $x y$ を引きます。

$3 y - x y = 5 x$

ステップ 3.4.2

$y$ を $3 y - x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$y$ を $3 y$ で因数分解します。

$y \cdot 3 - x y = 5 x$

ステップ 3.4.2.2

$y$ を $- x y$ で因数分解します。

$y \cdot 3 + y (- x) = 5 x$

ステップ 3.4.2.3

$y$ を $y \cdot 3 + y (- x)$ で因数分解します。

$y (3 - x) = 5 x$

ステップ 3.4.3

$y (3 - x) = 5 x$ の各項を $3 - x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$y (3 - x) = 5 x$ の各項を $3 - x$ で割ります。

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{5 x}{3 - x}$

ステップ 3.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1

$3 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{5 x}{3 - x}$

ステップ 3.4.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{5 x}{3 - x}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$ が $f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{3 x}{x + 5})}{3 - (\frac{3 x}{x + 5})}$

ステップ 5.2.3

$5$ と $\frac{3 x}{x + 5}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{3 - \frac{3 x}{x + 5}}$

ステップ 5.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 5}{x + 5}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (x + 5)}{x + 5} - \frac{3 x}{x + 5}}$

ステップ 5.2.4.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (x + 5) - 3 x}{x + 5}}$

ステップ 5.2.4.3

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{- 3 x + 3 (x + 5)}{x + 5}}$

ステップ 5.2.4.4

因数分解した形で $\frac{- 3 x + 3 (x + 5)}{x + 5}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

$3$ を $- 3 x + 3 (x + 5)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1.1

$3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (- x) + 3 (x + 5)}{x + 5}}$

ステップ 5.2.4.4.1.2

$3$ を $3 (- x) + 3 (x + 5)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (- x + x + 5)}{x + 5}}$

ステップ 5.2.4.4.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (0 + 5)}{x + 5}}$

ステップ 5.2.4.4.3

$0$ と $5$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 \cdot 5}{x + 5}}$

ステップ 5.2.4.5

$3$ に $5$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{15}{x + 5}}$

ステップ 5.2.5

$5$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{15 x}{x + 5}}{\frac{15}{x + 5}}$

ステップ 5.2.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{15 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{15}$

ステップ 5.2.7

$15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

$15$ を $15 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{15 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{15}$

ステップ 5.2.7.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{15 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{15}$

ステップ 5.2.7.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

ステップ 5.2.8

$x + 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

ステップ 5.2.8.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{5 x}{3 - x})$ の値を求めます。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{3 (\frac{5 x}{3 - x})}{(\frac{5 x}{3 - x}) + 5}$

ステップ 5.3.3

$3$ と $\frac{5 x}{3 - x}$ をまとめます。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x}{3 - x} + 5}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 - x}{3 - x}$ を掛けます。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x}{3 - x} + \frac{5 (3 - x)}{3 - x}}$

ステップ 5.3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x + 5 (3 - x)}{3 - x}}$

ステップ 5.3.4.3

項を並べ替えます。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x + 5 (3 - x)}{- x + 3}}$

ステップ 5.3.4.4

因数分解した形で $\frac{5 x + 5 (3 - x)}{- x + 3}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1

$5$ を $5 x + 5 (3 - x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1.1

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 (x) + 5 (3 - x)}{- x + 3}}$

ステップ 5.3.4.4.1.2

$5$ を $5 (x) + 5 (3 - x)$ で因数分解します。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 (x + 3 - x)}{- x + 3}}$

ステップ 5.3.4.4.2

$x$ から $x$ を引きます。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 (0 + 3)}{- x + 3}}$

ステップ 5.3.4.4.3

$0$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 \cdot 3}{- x + 3}}$

ステップ 5.3.4.5

$5$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{15}{- x + 3}}$

ステップ 5.3.5

$3$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{15 x}{3 - x}}{\frac{15}{- x + 3}}$

ステップ 5.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{15 x}{3 - x} \cdot \frac{- x + 3}{15}$

ステップ 5.3.7

$15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

$15$ を $15 x$ で因数分解します。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{15 (x)}{3 - x} \cdot \frac{- x + 3}{15}$

ステップ 5.3.7.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{15 x}{3 - x} \cdot \frac{- x + 3}{15}$

ステップ 5.3.7.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x}{3 - x} \cdot (- x + 3)$

ステップ 5.3.8

$\frac{x}{3 - x}$ に $- x + 3$ をかけます。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x (- x + 3)}{3 - x}$

ステップ 5.3.9

$- x + 3$ と $3 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1

項を並べ替えます。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x (- x + 3)}{- x + 3}$

ステップ 5.3.9.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x (- x + 3)}{- x + 3}$

ステップ 5.3.9.3

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$ は $f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$

有限数学 例

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