有限数学例

$f (x) = \frac{1}{x} - 6$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1}{x} - 6$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{x} - 6$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{y} - 6$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{1}{y} - 6 = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{y} - 6 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$\frac{1}{y} = x + 6$

ステップ 3.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y, 1, 1$

ステップ 3.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 3.4

$\frac{1}{y} = x + 6$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.4.1

$\frac{1}{y} = x + 6$ の各項に $y$ を掛けます。

$\frac{1}{y} y = x y + 6 y$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} y = x y + 6 y$

ステップ 3.4.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = x y + 6 y$

ステップ 3.5

方程式を解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $x y + 6 y = 1$ として書き換えます。

$x y + 6 y = 1$

ステップ 3.5.2

$y$ を $x y + 6 y$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.2.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$y x + 6 y = 1$

ステップ 3.5.2.2

$y$ を $6 y$ で因数分解します。

$y x + y \cdot 6 = 1$

ステップ 3.5.2.3

$y$ を $y x + y \cdot 6$ で因数分解します。

$y (x + 6) = 1$

ステップ 3.5.3

$y (x + 6) = 1$ の各項を $x + 6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$y (x + 6) = 1$ の各項を $x + 6$ で割ります。

$\frac{y (x + 6)}{x + 6} = \frac{1}{x + 6}$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.2.1

$x + 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x + 6)}{x + 6} = \frac{1}{x + 6}$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{x + 6}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x + 6}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x + 6}$ が $f (x) = \frac{1}{x} - 6$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{x} - 6)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 6) = \frac{1}{(\frac{1}{x} - 6) + 6}$

ステップ 5.2.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 6) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{1}{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 6) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

ステップ 5.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 6) = 1 x$

ステップ 5.2.5

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 6) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{1}{x + 6})$ の値を求めます。

$f (\frac{1}{x + 6}) = \frac{1}{\frac{1}{x + 6}} - 6$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{1}{x + 6}) = 1 (x + 6) - 6$

ステップ 5.3.3.2

$x + 6$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{x + 6}) = x + 6 - 6$

ステップ 5.3.4

$x + 6 - 6$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$6$ から $6$ を引きます。

$f (\frac{1}{x + 6}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{1}{x + 6}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x + 6}$ は $f (x) = \frac{1}{x} - 6$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x + 6}$

有限数学 例

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