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有限数学 例
f(x)=x2-1x-1f(x)=x2−1x−1
ステップ 1
f(x)=x2-1x-1f(x)=x2−1x−1を方程式で書きます。
y=x2-1x-1y=x2−1x−1
ステップ 2
変数を入れ替えます。
x=y2-1y-1x=y2−1y−1
ステップ 3
ステップ 3.1
方程式をy2-1y-1=xy2−1y−1=xとして書き換えます。
y2-1y-1=xy2−1y−1=x
ステップ 3.2
各項を因数分解します。
ステップ 3.2.1
11を1212に書き換えます。
y2-12y-1=xy2−12y−1=x
ステップ 3.2.2
両項とも完全平方なので、平方の差の公式a2-b2=(a+b)(a-b)a2−b2=(a+b)(a−b)を利用して、因数分解します。このとき、a=ya=yであり、b=1b=1です。
(y+1)(y-1)y-1=x(y+1)(y−1)y−1=x
ステップ 3.2.3
今日数因数で約分することで式を約分します。
ステップ 3.2.3.1
今日数因数で約分することで式(y+1)(y-1)y-1(y+1)(y−1)y−1を約分します。
ステップ 3.2.3.1.1
共通因数を約分します。
(y+1)(y-1)y-1=x(y+1)(y−1)y−1=x
ステップ 3.2.3.1.2
式を書き換えます。
y+11=xy+11=x
y+11=xy+11=x
ステップ 3.2.3.2
y+1y+1を11で割ります。
y+1=xy+1=x
y+1=xy+1=x
y+1=xy+1=x
ステップ 3.3
方程式の両辺から11を引きます。
y=x-1y=x−1
y=x-1y=x−1
ステップ 4
Replace yy with f-1(x)f−1(x) to show the final answer.
f-1(x)=x-1f−1(x)=x−1
ステップ 5
ステップ 5.1
逆を確認するために、f-1(f(x))=xf−1(f(x))=xとf(f-1(x))=xf(f−1(x))=xか確認します。
ステップ 5.2
f-1(f(x))f−1(f(x))の値を求めます。
ステップ 5.2.1
合成結果関数を立てます。
f-1(f(x))f−1(f(x))
ステップ 5.2.2
f-1f−1にffの値を代入し、f-1(x2-1x-1)f−1(x2−1x−1)の値を求めます。
f-1(x2-1x-1)=(x2-1x-1)-1f−1(x2−1x−1)=(x2−1x−1)−1
ステップ 5.2.3
各項を簡約します。
ステップ 5.2.3.1
分子を簡約します。
ステップ 5.2.3.1.1
11を1212に書き換えます。
f-1(x2-1x-1)=x2-12x-1-1f−1(x2−1x−1)=x2−12x−1−1
ステップ 5.2.3.1.2
両項とも完全平方なので、平方の差の公式a2-b2=(a+b)(a-b)a2−b2=(a+b)(a−b)を利用して、因数分解します。このとき、a=xa=xであり、b=1b=1です。
f-1(x2-1x-1)=(x+1)(x-1)x-1-1f−1(x2−1x−1)=(x+1)(x−1)x−1−1
f-1(x2-1x-1)=(x+1)(x-1)x-1-1f−1(x2−1x−1)=(x+1)(x−1)x−1−1
ステップ 5.2.3.2
x-1x−1の共通因数を約分します。
ステップ 5.2.3.2.1
共通因数を約分します。
f-1(x2-1x-1)=(x+1)(x-1)x-1-1f−1(x2−1x−1)=(x+1)(x−1)x−1−1
ステップ 5.2.3.2.2
x+1x+1を11で割ります。
f-1(x2-1x-1)=x+1-1f−1(x2−1x−1)=x+1−1
f-1(x2-1x-1)=x+1-1f−1(x2−1x−1)=x+1−1
f-1(x2-1x-1)=x+1-1f−1(x2−1x−1)=x+1−1
ステップ 5.2.4
x+1-1x+1−1の反対側の項を組み合わせます。
ステップ 5.2.4.1
11から11を引きます。
f-1(x2-1x-1)=x+0f−1(x2−1x−1)=x+0
ステップ 5.2.4.2
xxと00をたし算します。
f-1(x2-1x-1)=xf−1(x2−1x−1)=x
f-1(x2-1x-1)=xf−1(x2−1x−1)=x
f-1(x2-1x-1)=x
ステップ 5.3
f(f-1(x))の値を求めます。
ステップ 5.3.1
合成結果関数を立てます。
f(f-1(x))
ステップ 5.3.2
fにf-1の値を代入し、f(x-1)の値を求めます。
f(x-1)=(x-1)2-1(x-1)-1
ステップ 5.3.3
分子を簡約します。
ステップ 5.3.3.1
1を12に書き換えます。
f(x-1)=(x-1)2-12x-1-1
ステップ 5.3.3.2
両項とも完全平方なので、平方の差の公式a2-b2=(a+b)(a-b)を利用して、因数分解します。このとき、a=x-1であり、b=1です。
f(x-1)=(x-1+1)(x-1-1)x-1-1
ステップ 5.3.3.3
簡約します。
ステップ 5.3.3.3.1
-1と1をたし算します。
f(x-1)=(x+0)(x-1-1)x-1-1
ステップ 5.3.3.3.2
xと0をたし算します。
f(x-1)=x(x-1-1)x-1-1
ステップ 5.3.3.3.3
-1から1を引きます。
f(x-1)=x(x-2)x-1-1
f(x-1)=x(x-2)x-1-1
f(x-1)=x(x-2)x-1-1
ステップ 5.3.4
今日数因数で約分することで式を約分します。
ステップ 5.3.4.1
-1から1を引きます。
f(x-1)=x(x-2)x-2
ステップ 5.3.4.2
x-2の共通因数を約分します。
ステップ 5.3.4.2.1
共通因数を約分します。
f(x-1)=x(x-2)x-2
ステップ 5.3.4.2.2
xを1で割ります。
f(x-1)=x
f(x-1)=x
f(x-1)=x
f(x-1)=x
ステップ 5.4
f-1(f(x))=xとf(f-1(x))=xなので、f-1(x)=x-1はf(x)=x2-1x-1の逆です。
f-1(x)=x-1
f-1(x)=x-1