有限数学例

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ として書き換えます。

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$(y - 7) (y + 1), 1$

ステップ 3.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$(y - 7) (y + 1)$

ステップ 3.3

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ の各項に $(y - 7) (y + 1)$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ の各項に $(y - 7) (y + 1)$ を掛けます。

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$(y - 7) (y + 1)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$y - 9 = x ((y - 7) (y + 1))$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(y - 7) (y + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

分配則を当てはめます。

$y - 9 = x (y (y + 1) - 7 (y + 1))$

ステップ 3.3.3.1.2

分配則を当てはめます。

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 (y + 1))$

ステップ 3.3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

ステップ 3.3.3.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$y - 9 = x (y^{2} + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$y$ に $1$ をかけます。

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7 \cdot 1)$

ステップ 3.3.3.2.1.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7)$

ステップ 3.3.3.2.2

$y$ から $7 y$ を引きます。

$y - 9 = x (y^{2} - 6 y - 7)$

ステップ 3.3.3.3

分配則を当てはめます。

$y - 9 = x y^{2} + x (- 6 y) + x \cdot - 7$

ステップ 3.3.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y + x \cdot - 7$

ステップ 3.3.3.4.2

$- 7$ を $x$ の左に移動させます。

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 \cdot x$

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 x$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x y^{2} - 6 x y - 7 x = y - 9$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y = - 9$

ステップ 3.4.3

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y + 9 = 0$

ステップ 3.4.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4.5

$a = x$ 、 $b = - 6 x - 1$ 、および $c = - 7 x + 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- (- 6 x - 1) \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 7 x + 9))}}{2 x}$

ステップ 3.4.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.2

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.4

${(- 6 x - 1)}^{2}$ を $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ に書き換えます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.5.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.5.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.5.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.6.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.6.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.6.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.6.1.3

$- 6$ に $- 6$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.6.1.4

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.6.1.5

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.6.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.6.2

$6 x$ と $6 x$ をたし算します。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.7

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.9

$9$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.10.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.10.1.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.10.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.10.2

$- 4$ に $- 7$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.11

$36 x^{2}$ と $28 x^{2}$ をたし算します。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.12

$12 x$ から $36 x$ を引きます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

ステップ 3.4.7

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

ステップ 3.4.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.2

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.4

${(- 6 x - 1)}^{2}$ を $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ に書き換えます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1.5.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.5.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.5.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.6.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1.6.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.6.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.6.1.3

$- 6$ に $- 6$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.6.1.4

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.6.1.5

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.6.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.6.2

$6 x$ と $6 x$ をたし算します。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.7

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.9

$9$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1.10.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1.10.1.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.10.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.10.2

$- 4$ に $- 7$ をかけます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.11

$36 x^{2}$ と $28 x^{2}$ をたし算します。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.1.12

$12 x$ から $36 x$ を引きます。

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

ステップ 3.4.8.2

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

ステップ 3.4.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ が $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

ステップ 5.3

$\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$64 x^{2} - 24 x + 1 \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

不等式を方程式に変換します。

$64 x^{2} - 24 x + 1 = 0$

ステップ 5.3.2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.3.2.3

$a = 64$ 、 $b = - 24$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1.1

$- 24$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.4.1.2

$- 4 \cdot 64 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1.2.1

$- 4$ に $64$ をかけます。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.4.1.2.2

$- 256$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.4.1.3

$576$ から $256$ を引きます。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.4.1.4

$320$ を $8^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1.4.1

$64$ を $320$ で因数分解します。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.4.1.4.2

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.4.2

$2$ に $64$ をかけます。

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

ステップ 5.3.2.4.3

$\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ を簡約します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

ステップ 5.3.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.5.1.1

$- 24$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.5.1.2

$- 4 \cdot 64 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.5.1.2.1

$- 4$ に $64$ をかけます。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.5.1.2.2

$- 256$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.5.1.3

$576$ から $256$ を引きます。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.5.1.4

$320$ を $8^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.5.1.4.1

$64$ を $320$ で因数分解します。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.5.1.4.2

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.5.2

$2$ に $64$ をかけます。

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

ステップ 5.3.2.5.3

$\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ を簡約します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

ステップ 5.3.2.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

ステップ 5.3.2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.1.1

$- 24$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.6.1.2

$- 4 \cdot 64 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.1.2.1

$- 4$ に $64$ をかけます。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.6.1.2.2

$- 256$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.6.1.3

$576$ から $256$ を引きます。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.6.1.4

$320$ を $8^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.1.4.1

$64$ を $320$ で因数分解します。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.6.1.4.2

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

ステップ 5.3.2.6.2

$2$ に $64$ をかけます。

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

ステップ 5.3.2.6.3

$\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ を簡約します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

ステップ 5.3.2.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

ステップ 5.3.2.7

解をまとめます。

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

ステップ 5.3.2.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

ステップ 5.3.2.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.9.1

区間 $x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.9.1.1

区間 $x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 5.3.2.9.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$64 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 1 \geq 0$

ステップ 5.3.2.9.1.3

左辺 $1$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 5.3.2.9.2

区間 $\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.9.2.1

区間 $\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.19$

ステップ 5.3.2.9.2.2

$x$ を元の不等式の $0.19$ で置き換えます。

$64 {(0.19)}^{2} - 24 \cdot 0.19 + 1 \geq 0$

ステップ 5.3.2.9.2.3

左辺 $- 1.2496$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 5.3.2.9.3

区間 $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.9.3.1

区間 $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 5.3.2.9.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$64 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 1 \geq 0$

ステップ 5.3.2.9.3.3

左辺 $505$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 5.3.2.9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ 真

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ 偽

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ 真

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ 真

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ 偽

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ 真

ステップ 5.3.2.10

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ または $x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

ステップ 5.3.3

$\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 x = 0$

ステップ 5.3.4

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 5.3.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ の定義域が $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ の範囲に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ は $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ の逆ではありません。

逆はありません

ステップ 6

有限数学 例

有限数学例