有限数学例

$f (x) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$

ステップ 1

$f (x) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ を方程式で書きます。

$y = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$a = 7 {(2 y)}^{2} + 2 (2 y)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $7 {(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) = a$ として書き換えます。

$7 {(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) = a$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

積の法則を $2 y$ に当てはめます。

$7 (2^{2} y^{2}) + 2 \cdot (2 y) = a$

ステップ 3.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$7 (4 y^{2}) + 2 \cdot (2 y) = a$

ステップ 3.2.3

$4$ に $7$ をかけます。

$28 y^{2} + 2 \cdot (2 y) = a$

ステップ 3.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$28 y^{2} + 4 y = a$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $a$ を引きます。

$28 y^{2} + 4 y - a = 0$

ステップ 3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5

$a = 28$ 、 $b = 4$ 、および $c = - a$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (28 \cdot (- a))}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 28 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4 \cdot 28 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.2.1

$- 4$ に $28$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 112 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.6.1.2.2

$- 112$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 112 a}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.6.1.3

$16$ を $16 + 112 a$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.3.1

$16$ を $16$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 112 a}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.6.1.3.2

$16$ を $112 a$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 16 (7 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.6.1.3.3

$16$ を $16 (1) + 16 (7 a)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.6.1.4

$16 (1 + 7 a)$ を ${(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.4.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.6.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $28$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$

ステップ 3.6.3

$\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$ を簡約します。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 28 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4 \cdot 28 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.2.1

$- 4$ に $28$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 112 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.7.1.2.2

$- 112$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 112 a}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.7.1.3

$16$ を $16 + 112 a$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.3.1

$16$ を $16$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 112 a}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.7.1.3.2

$16$ を $112 a$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 16 (7 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.7.1.3.3

$16$ を $16 (1) + 16 (7 a)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.7.1.4

$16 (1 + 7 a)$ を ${(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.4.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.7.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $28$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$

ステップ 3.7.3

$\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$ を簡約します。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

ステップ 3.7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

ステップ 3.7.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

ステップ 3.7.6

$- 1$ を $\sqrt{1 + 7 a}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 7 a})}{14}$

ステップ 3.7.7

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 7 a})$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 7 a})}{14}$

ステップ 3.7.8

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

ステップ 3.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 28 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.8.1.2

$- 4 \cdot 28 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.2.1

$- 4$ に $28$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 112 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.8.1.2.2

$- 112$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 112 a}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.8.1.3

$16$ を $16 + 112 a$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.3.1

$16$ を $16$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 112 a}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.8.1.3.2

$16$ を $112 a$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 16 (7 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.8.1.3.3

$16$ を $16 (1) + 16 (7 a)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.8.1.4

$16 (1 + 7 a)$ を ${(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.4.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.8.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.8.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.8.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

ステップ 3.8.2

$2$ に $28$ をかけます。

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$

ステップ 3.8.3

$\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$ を簡約します。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

ステップ 3.8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

ステップ 3.8.5

$- 1$ を $- 1 - \sqrt{1 + 7 a}$ で因数分解します。

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ステップ 3.8.5.1

$1$ と $7 a$ を並べ替えます。

$y = \frac{- 1 - \sqrt{7 a + 1}}{14}$

ステップ 3.8.5.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{7 a + 1}}{14}$

ステップ 3.8.5.3

$- 1$ を $- \sqrt{7 a + 1}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{7 a + 1})}{14}$

ステップ 3.8.5.4

$- 1$ を $- 1 (1) - (\sqrt{7 a + 1})$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (1 + \sqrt{7 a + 1})}{14}$

ステップ 3.8.5.5

$- 1 (1 + \sqrt{7 a + 1})$ を $- (1 + \sqrt{7 a + 1})$ に書き換えます。

$y = \frac{- (1 + \sqrt{7 a + 1})}{14}$

ステップ 3.8.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

ステップ 3.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (a)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

ステップ 5

$f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ が $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ の値域、 $f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- \frac{1}{7}, \infty)$

ステップ 5.3

$- \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{1 + 7 a}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$1 + 7 a \geq 0$

ステップ 5.3.2

$a$ について解きます。

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ステップ 5.3.2.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$7 a \geq - 1$

ステップ 5.3.2.2

$7 a \geq - 1$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$7 a \geq - 1$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 a}{7} \geq \frac{- 1}{7}$

ステップ 5.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 a}{7} \geq \frac{- 1}{7}$

ステップ 5.3.2.2.2.1.2

$a$ を $1$ で割ります。

$a \geq \frac{- 1}{7}$

ステップ 5.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$a \geq - \frac{1}{7}$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $a$ のすべての値です。

$[- \frac{1}{7}, \infty)$

ステップ 5.4

$f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ の定義域が $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ の範囲で、 $f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ の範囲が $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ の定義域なので、 $f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ は $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ の逆です。

$f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

ステップ 6

有限数学 例

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