有限数学例

$f (x) = 5 \log (3) x$

ステップ 1

$f (x) = 5 \log (3) x$ を方程式で書きます。

$y = 5 \log (3) x$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 5 \log (3) y$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $5 \log (3) y = x$ として書き換えます。

$5 \log (3) y = x$

ステップ 3.2

$5 \log (3) y = x$ の各項を $5 \log (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$5 \log (3) y = x$ の各項を $5 \log (3)$ で割ります。

$\frac{5 \log (3) y}{5 \log (3)} = \frac{x}{5 \log (3)}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \log (3) y}{5 \log (3)} = \frac{x}{5 \log (3)}$

ステップ 3.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\log (3) y}{\log (3)} = \frac{x}{5 \log (3)}$

ステップ 3.2.2.2

$\log (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\log (3) y}{\log (3)} = \frac{x}{5 \log (3)}$

ステップ 3.2.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x}{5 \log (3)}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

対数の中の $5$ を移動させて $5 \log (3)$ を簡約します。

$y = \frac{x}{\log (3^{5})}$

ステップ 3.2.3.2

$3$ を $5$ 乗します。

$y = \frac{x}{\log (243)}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{\log (243)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{\log (243)}$ が $f (x) = 5 \log (3) x$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (5 \log (3) x)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = \frac{5 \log (3) x}{\log (243)}$

ステップ 5.2.3

対数の中の $5$ を移動させて $5 \log (3)$ を簡約します。

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = \frac{\log (3^{5}) x}{\log (243)}$

ステップ 5.2.4

$3$ を $5$ 乗します。

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = \frac{\log (243) x}{\log (243)}$

ステップ 5.2.5

$\log (243)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = \frac{\log (243) x}{\log (243)}$

ステップ 5.2.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x}{\log (243)})$ の値を求めます。

$f (\frac{x}{\log (243)}) = 5 \log (3) (\frac{x}{\log (243)})$

ステップ 5.3.3

対数の中の $5$ を移動させて $5 \log (3)$ を簡約します。

$f (\frac{x}{\log (243)}) = \log (3^{5}) (\frac{x}{\log (243)})$

ステップ 5.3.4

$3$ を $5$ 乗します。

$f (\frac{x}{\log (243)}) = \log (243) (\frac{x}{\log (243)})$

ステップ 5.3.5

$\log (243)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x}{\log (243)}) = \log (243) (\frac{x}{\log (243)})$

ステップ 5.3.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x}{\log (243)}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{\log (243)}$ は $f (x) = 5 \log (3) x$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{\log (243)}$

有限数学 例

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