有限数学例

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{2} \cdot \log (4 y)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y)) = 2 x$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y))$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\log (4 y)$ をまとめます。

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

ステップ 3.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

ステップ 3.3.1.2.2

式を書き換えます。

$\log (4 y) = 2 x$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\log (4 y) = 2 x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$10^{2 x} = 4 y$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $4 y = 10^{2 x}$ として書き換えます。

$4 y = 10^{2 x}$

ステップ 3.5.2

$4 y = 10^{2 x}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$4 y = 10^{2 x}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{10^{2 x}}{4}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ が $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))}}{4}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2}) \cdot \log (4 x)}}{4}$

ステップ 5.2.3.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{1 \cdot \log (4 x)}}{4}$

ステップ 5.2.3.2

対数の中の $1$ を移動させて $1 \cdot \log (4 x)$ を簡約します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{\log ({(4 x)}^{1})}}{4}$

ステップ 5.2.3.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

ステップ 5.2.3.4

簡約します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

ステップ 5.2.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{10^{2 x}}{4})$ の値を求めます。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

ステップ 5.3.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

ステップ 5.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (10^{2 x})$

ステップ 5.3.4

対数の法則を利用して指数の外に $2 x$ を移動します。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \log (10))$

ステップ 5.3.5

$10$ の対数の底 $10$ は $1$ です。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

ステップ 5.3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

ステップ 5.3.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.7.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

ステップ 5.3.7.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

ステップ 5.3.7.3

式を書き換えます。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ は $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$

有限数学 例

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