有限数学例

$C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$

ステップ 1

$C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ を方程式で書きます。

$y = 60 e^{- 0.14 t}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$t = 60 e^{- 0.14 y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $60 e^{- 0.14 y} = t$ として書き換えます。

$60 e^{- 0.14 y} = t$

ステップ 3.2

$60 e^{- 0.14 y} = t$ の各項を $60$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$60 e^{- 0.14 y} = t$ の各項を $60$ で割ります。

$\frac{60 e^{- 0.14 y}}{60} = \frac{t}{60}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$60$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{60 e^{- 0.14 y}}{60} = \frac{t}{60}$

ステップ 3.2.2.1.2

$e^{- 0.14 y}$ を $1$ で割ります。

$e^{- 0.14 y} = \frac{t}{60}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- 0.14 y}) = \ln (\frac{t}{60})$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

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ステップ 3.4.1

$- 0.14 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- 0.14 y})$ を展開します。

$- 0.14 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{60})$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- 0.14 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{60})$

ステップ 3.4.3

$- 0.14$ に $1$ をかけます。

$- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$

ステップ 3.5

$- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$ の各項を $- 0.14$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$ の各項を $- 0.14$ で割ります。

$\frac{- 0.14 y}{- 0.14} = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$- 0.14$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 0.14 y}{- 0.14} = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

ステップ 3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

ステップ 3.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{\ln (\frac{t}{60})}{0.14}$

ステップ 3.5.3.2

$1$ を掛けます。

$y = - \frac{1 \ln (\frac{t}{60})}{0.14}$

ステップ 3.5.3.3

$0.14$ を $0.14$ で因数分解します。

$y = - \frac{1 \ln (\frac{t}{60})}{0.14 (1)}$

ステップ 3.5.3.4

分数を分解します。

$y = - (\frac{1}{0.14} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{60})}{1})$

ステップ 3.5.3.5

$1$ を $0.14$ で割ります。

$y = - (7.\overline{142857} \frac{\ln (\frac{t}{60})}{1})$

ステップ 3.5.3.6

$\ln (\frac{t}{60})$ を $1$ で割ります。

$y = - (7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))$

ステップ 3.5.3.7

$7.\overline{142857}$ に $- 1$ をかけます。

$y = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$

ステップ 4

Replace $y$ with $C^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$

ステップ 5

$C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ が $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $C^{- 1} (C (t)) = t$ と $C (C^{- 1} (t)) = t$ か確認します。

ステップ 5.2

$C^{- 1} (C (t))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$C^{- 1} (C (t))$

ステップ 5.2.2

$C^{- 1}$ に $C$ の値を代入し、 $C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t})$ の値を求めます。

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{60 e^{- 0.14 t}}{60})$

ステップ 5.2.3

$60$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

共通因数を約分します。

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{60 e^{- 0.14 t}}{60})$

ステップ 5.2.3.2

$e^{- 0.14 t}$ を $1$ で割ります。

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (e^{- 0.14 t})$

ステップ 5.2.4

対数の法則を利用して指数の外に $- 0.14 t$ を移動します。

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t \ln (e))$

ステップ 5.2.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t \cdot 1)$

ステップ 5.2.6

$- 0.14$ に $1$ をかけます。

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t)$

ステップ 5.2.7

$- 7.\overline{142857} (- 0.14 t)$ を掛けます。

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ステップ 5.2.7.1

$- 0.14$ に $- 7.\overline{142857}$ をかけます。

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = 1 t$

ステップ 5.2.7.2

$t$ に $1$ をかけます。

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = t$

ステップ 5.3

$C (C^{- 1} (t))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$C (C^{- 1} (t))$

ステップ 5.3.2

$C$ に $C^{- 1}$ の値を代入し、 $C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))$ の値を求めます。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))}$

ステップ 5.3.3

対数の中の $7.\overline{142857}$ を移動させて $- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ を簡約します。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln ({(\frac{t}{60})}^{7.\overline{142857}}))}$

ステップ 5.3.4

積の法則を $\frac{t}{60}$ に当てはめます。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{60^{7.\overline{142857}}}))}$

ステップ 5.3.5

$60$ を $7.\overline{142857}$ 乗します。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33}))}$

ステップ 5.3.6

$1$ を掛けます。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1 t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33}))}$

ステップ 5.3.7

$5024355493192.33$ を $5024355493192.33$ で因数分解します。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1 t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33 (1)}))}$

ステップ 5.3.8

分数を分解します。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1}{5024355493192.33} \cdot \frac{t^{7.\overline{142857}}}{1}))}$

ステップ 5.3.9

$1$ を $5024355493192.33$ で割ります。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (0 (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{1})))}$

ステップ 5.3.10

$t^{7.\overline{142857}}$ を $1$ で割ります。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (0 t^{7.\overline{142857}}))}$

ステップ 5.3.11

$- 0.14 (- \ln (0 t^{7.\overline{142857}}))$ を掛けます。

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ステップ 5.3.11.1

$- 1$ に $- 0.14$ をかけます。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{0.14 \ln (0 t^{7.\overline{142857}})}$

ステップ 5.3.11.2

対数の中の $0.14$ を移動させて $0.14 \ln (0 t^{7.\overline{142857}})$ を簡約します。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{\ln ({(0 t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})}$

ステップ 5.3.12

指数関数と対数関数は逆関数です。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 {(0 t^{7.\overline{142857}})}^{0.14}$

ステップ 5.3.13

積の法則を $0 t^{7.\overline{142857}}$ に当てはめます。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0^{0.14} {(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})$

ステップ 5.3.14

$0$ を $0.14$ 乗します。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} {(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})$

ステップ 5.3.15

${(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.15.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} t^{7.\overline{142857} \cdot 0.14})$

ステップ 5.3.15.2

$7.\overline{142857}$ に $0.14$ をかけます。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} t)$

ステップ 5.3.16

$0.01\overline{6}$ に $60$ をかけます。

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 1 t$

ステップ 5.4

$C^{- 1} (C (t)) = t$ と $C (C^{- 1} (t)) = t$ なので、 $C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ は $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ の逆です。

$C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$

有限数学 例

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