有限数学例

$p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$

ステップ 1

$p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ を方程式で書きます。

$y = - 70 x^{2} + 15000 x$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = - 70 y^{2} + 15000 y$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $- 70 y^{2} + 15000 y = x$ として書き換えます。

$- 70 y^{2} + 15000 y = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- 70 y^{2} + 15000 y - x = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = - 70$ 、 $b = 15000$ 、および $c = - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 15000 \pm \sqrt{15000^{2} - 4 \cdot (- 70 \cdot (- x))}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$15000$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot - 70 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4 \cdot - 70 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.2.1

$- 4$ に $- 70$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 280 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.5.1.2.2

$280$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.5.1.3

$40$ を $225000000 - 280 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.3.1

$40$ を $225000000$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.5.1.3.2

$40$ を $- 280 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) + 40 (- 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.5.1.3.3

$40$ を $40 (5625000) + 40 (- 7 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.5.1.4

$40 (5625000 - 7 x)$ を $2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.4.1

$4$ を $40$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{4 (10) (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.5.1.4.3

括弧を付けます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $- 70$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$

ステップ 3.5.3

$\frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$ を簡約します。

$y = \frac{7500 \pm \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

ステップ 3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$15000$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot - 70 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4 \cdot - 70 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.2.1

$- 4$ に $- 70$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 280 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.6.1.2.2

$280$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.6.1.3

$40$ を $225000000 - 280 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.3.1

$40$ を $225000000$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.6.1.3.2

$40$ を $- 280 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) + 40 (- 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.6.1.3.3

$40$ を $40 (5625000) + 40 (- 7 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.6.1.4

$40 (5625000 - 7 x)$ を $2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.4.1

$4$ を $40$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{4 (10) (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.6.1.4.3

括弧を付けます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $- 70$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$

ステップ 3.6.3

$\frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$ を簡約します。

$y = \frac{7500 \pm \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

ステップ 3.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

$15000$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot - 70 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4 \cdot - 70 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.2.1

$- 4$ に $- 70$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 280 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.7.1.2.2

$280$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.7.1.3

$40$ を $225000000 - 280 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.3.1

$40$ を $225000000$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.7.1.3.2

$40$ を $- 280 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) + 40 (- 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.7.1.3.3

$40$ を $40 (5625000) + 40 (- 7 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.7.1.4

$40 (5625000 - 7 x)$ を $2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.4.1

$4$ を $40$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{4 (10) (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.7.1.4.3

括弧を付けます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $- 70$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$

ステップ 3.7.3

$\frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$ を簡約します。

$y = \frac{7500 \pm \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

ステップ 3.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

ステップ 3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

$y = \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

$y = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

$y = \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

ステップ 4

Replace $y$ with $p^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

ステップ 5

$p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ が $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ の値域、 $p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, \frac{5625000}{7}]$

ステップ 5.3

$\frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{10 (5625000 - 7 x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$10 (5625000 - 7 x) \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.3.2.1

$10 (5625000 - 7 x) \geq 0$ の各項を $10$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$10 (5625000 - 7 x) \geq 0$ の各項を $10$ で割ります。

$\frac{10 (5625000 - 7 x)}{10} \geq \frac{0}{10}$

ステップ 5.3.2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 (5625000 - 7 x)}{10} \geq \frac{0}{10}$

ステップ 5.3.2.1.2.1.2

$5625000 - 7 x$ を $1$ で割ります。

$5625000 - 7 x \geq \frac{0}{10}$

ステップ 5.3.2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.3.1

$0$ を $10$ で割ります。

$5625000 - 7 x \geq 0$

ステップ 5.3.2.2

不等式の両辺から $5625000$ を引きます。

$- 7 x \geq - 5625000$

ステップ 5.3.2.3

$- 7 x \geq - 5625000$ の各項を $- 7$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.3.1

$- 7 x \geq - 5625000$ の各項を $- 7$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- 7 x}{- 7} \leq \frac{- 5625000}{- 7}$

ステップ 5.3.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.2.1

$- 7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 7 x}{- 7} \leq \frac{- 5625000}{- 7}$

ステップ 5.3.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{- 5625000}{- 7}$

ステップ 5.3.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x \leq \frac{5625000}{7}$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, \frac{5625000}{7}]$

ステップ 5.4

$p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ の定義域が $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ の範囲で、 $p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ の範囲が $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ の定義域なので、 $p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ は $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ の逆です。

$p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

ステップ 6

有限数学 例

有限数学例