有限数学例

$f (x) = x (- 4 x + 180)$

ステップ 1

$f (x) = x (- 4 x + 180)$ を方程式で書きます。

$y = x (- 4 x + 180)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = y (- 4 y + 180)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $y (- 4 y + 180) = x$ として書き換えます。

$y (- 4 y + 180) = x$

ステップ 3.2

$y (- 4 y + 180)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y (- 4 y) + y \cdot 180 = x$

ステップ 3.2.1.2

並べ替えます。

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ステップ 3.2.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 4 y \cdot y + y \cdot 180 = x$

ステップ 3.2.1.2.2

$180$ を $y$ の左に移動させます。

$- 4 y \cdot y + 180 \cdot y = x$

ステップ 3.2.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1

$y$ を移動させます。

$- 4 (y \cdot y) + 180 \cdot y = x$

ステップ 3.2.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$- 4 y^{2} + 180 \cdot y = x$

$- 4 y^{2} + 180 y = x$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- 4 y^{2} + 180 y - x = 0$

ステップ 3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5

$a = - 4$ 、 $b = 180$ 、および $c = - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 180 \pm \sqrt{180^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot (- x))}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$180$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 4 \cdot - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4 \cdot - 4 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.2.1

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 + 16 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.6.1.2.2

$16$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.6.1.3

$16$ を $32400 - 16 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.3.1

$16$ を $32400$ で因数分解します。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.6.1.3.2

$16$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) + 16 (- x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.6.1.3.3

$16$ を $16 (2025) + 16 (- x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.6.1.4

$16 (2025 - x)$ を ${(2^{2})}^{2} (2025 - x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.4.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{4^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 180 \pm 2^{2} \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.6.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$

ステップ 3.6.3

$\frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$ を簡約します。

$y = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - x}}{2}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

$180$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 4 \cdot - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4 \cdot - 4 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.2.1

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 + 16 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.7.1.2.2

$16$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.7.1.3

$16$ を $32400 - 16 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.3.1

$16$ を $32400$ で因数分解します。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.7.1.3.2

$16$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) + 16 (- x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.7.1.3.3

$16$ を $16 (2025) + 16 (- x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.7.1.4

$16 (2025 - x)$ を ${(2^{2})}^{2} (2025 - x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.4.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{4^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 180 \pm 2^{2} \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.7.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$

ステップ 3.7.3

$\frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$ を簡約します。

$y = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - x}}{2}$

ステップ 3.7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$

ステップ 3.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.8.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.8.1.1

$180$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 4 \cdot - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.8.1.2

$- 4 \cdot - 4 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.2.1

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 + 16 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.8.1.2.2

$16$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.8.1.3

$16$ を $32400 - 16 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.3.1

$16$ を $32400$ で因数分解します。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.8.1.3.2

$16$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) + 16 (- x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.8.1.3.3

$16$ を $16 (2025) + 16 (- x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.8.1.4

$16 (2025 - x)$ を ${(2^{2})}^{2} (2025 - x)$ に書き換えます。

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ステップ 3.8.1.4.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{4^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.8.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.8.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 180 \pm 2^{2} \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.8.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

ステップ 3.8.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$

ステップ 3.8.3

$\frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$ を簡約します。

$y = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - x}}{2}$

ステップ 3.8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

ステップ 3.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$

$y = \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

$y = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$

$y = \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ が $f (x) = x (- 4 x + 180)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = x (- 4 x + 180)$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = x (- 4 x + 180)$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, 2025]$

ステップ 5.3

$\frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{2025 - x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2025 - x \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.3.2.1

不等式の両辺から $2025$ を引きます。

$- x \geq - 2025$

ステップ 5.3.2.2

$- x \geq - 2025$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$- x \geq - 2025$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 2025}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 2025}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{- 2025}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.3.1

$- 2025$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq 2025$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 2025]$

ステップ 5.4

$f (x) = x (- 4 x + 180)$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ の定義域が $f (x) = x (- 4 x + 180)$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ の範囲が $f (x) = x (- 4 x + 180)$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ は $f (x) = x (- 4 x + 180)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

ステップ 6

有限数学 例

有限数学例