有限数学例

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

ステップ 1

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ を方程式で書きます。

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ として書き換えます。

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

ステップ 3.2

$u$ を $\sqrt{e^{y} + 1}$ に代入します。

$\sin (u) = x$

ステップ 3.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $u$ を取り出します。

$u = \arcsin (x)$

ステップ 3.4

$\sqrt{e^{y} + 1}$ を $u$ に代入し $\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$ を解く

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ステップ 3.4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

ステップ 3.4.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{e^{y} + 1}$ を ${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1.1

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

簡約します。

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

ステップ 3.4.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

ステップ 3.4.3.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

ステップ 3.4.3.3

左辺を展開します。

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ステップ 3.4.3.3.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

ステップ 3.4.3.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

ステップ 3.4.3.3.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ が $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ の値を求めます。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

ステップ 5.3.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

ステップ 5.3.4

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

ステップ 5.3.5

${\arcsin (x)}^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

ステップ 5.3.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

ステップ 5.3.7

関数の正弦と逆正弦は逆です。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ は $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

有限数学 例

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