有限数学例

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{8 y}{y^{2} - 64}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式に $y^{2} - 64$ を掛けます。

$(y^{2} - 64) (x) = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} x - 64 x = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$(\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{y^{2} - 8^{2}} (y^{2} - 64)$

ステップ 3.3.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 8$ です。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)} (y^{2} - 64)$

ステップ 3.3.1.2

$\frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)}$ に $y^{2} - 64$ をかけます。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 64)}{(y + 8) (y - 8)}$

ステップ 3.3.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 8^{2})}{(y + 8) (y - 8)}$

ステップ 3.3.1.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 8$ です。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

ステップ 3.3.1.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.4.1

$y + 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.4.1.1

共通因数を約分します。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

ステップ 3.3.1.4.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

ステップ 3.3.1.4.2

$y - 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

ステップ 3.3.1.4.2.2

$8 y$ を $1$ で割ります。

$y^{2} x - 64 x = 8 y$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $8 y$ を引きます。

$y^{2} x - 64 x - 8 y = 0$

ステップ 3.4.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4.3

$a = x$ 、 $b = - 8$ 、および $c = - 64 x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 64 x))}}{2 x}$

ステップ 3.4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

ステップ 3.4.4.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

ステップ 3.4.4.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1.3.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

ステップ 3.4.4.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.4.1.4

$- 4$ に $- 64$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

ステップ 3.4.4.1.5

$64$ を $64 + 256 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1.5.1

$64$ を $64$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

ステップ 3.4.4.1.5.2

$64$ を $256 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.4.1.5.3

$64$ を $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.4.1.6

$64 (1 + 4 x^{2})$ を $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1.6.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.4.1.6.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.4.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

ステップ 3.4.4.1.8

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

ステップ 3.4.4.2

$\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ を簡約します。

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

ステップ 3.4.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

ステップ 3.4.5.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

ステップ 3.4.5.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1.3.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

ステップ 3.4.5.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.5.1.4

$- 4$ に $- 64$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

ステップ 3.4.5.1.5

$64$ を $64 + 256 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1.5.1

$64$ を $64$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

ステップ 3.4.5.1.5.2

$64$ を $256 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.5.1.5.3

$64$ を $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.5.1.6

$64 (1 + 4 x^{2})$ を $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1.6.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.5.1.6.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.5.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

ステップ 3.4.5.1.8

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

ステップ 3.4.5.2

$\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ を簡約します。

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

ステップ 3.4.5.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

ステップ 3.4.5.4

$4$ を $4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.4.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

ステップ 3.4.5.4.2

$4$ を $4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

ステップ 3.4.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1.3.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.1.4

$- 4$ に $- 64$ をかけます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.1.5

$64$ を $64 + 256 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1.5.1

$64$ を $64$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.1.5.2

$64$ を $256 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.1.5.3

$64$ を $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.1.6

$64 (1 + 4 x^{2})$ を $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1.6.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.1.6.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.1.8

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

ステップ 3.4.6.2

$\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ を簡約します。

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

ステップ 3.4.6.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

ステップ 3.4.6.4

$4$ を $4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.4.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 (1) - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

ステップ 3.4.6.4.2

$4$ を $- 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

ステップ 3.4.6.4.3

$4$ を $4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})$ で因数分解します。

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

ステップ 3.4.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ が $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.3

$\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$1 + 4 x^{2} \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$4 x^{2} \geq - 1$

ステップ 5.3.2.2

$4 x^{2} \geq - 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$4 x^{2} \geq - 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

ステップ 5.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

ステップ 5.3.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \geq \frac{- 1}{4}$

ステップ 5.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} \geq - \frac{1}{4}$

ステップ 5.3.2.3

左辺に偶数乗があるので、実数は常に正です。

すべての実数

ステップ 5.3.3

$\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 5.3.4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ の定義域が $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ の範囲に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ は $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ の逆ではありません。

逆はありません

ステップ 6

有限数学 例

有限数学例