有限数学例

$f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ を方程式で書きます。

$y = \log_{\frac{1}{5}} (x)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \log_{\frac{1}{5}} (y)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$ として書き換えます。

$\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

${(\frac{1}{5})}^{x} = y$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $y = {(\frac{1}{5})}^{x}$ として書き換えます。

$y = {(\frac{1}{5})}^{x}$

ステップ 3.3.2

${(\frac{1}{5})}^{x}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$y = \frac{1^{x}}{5^{x}}$

ステップ 3.3.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{1}{5^{x}}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$ が $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\log_{\frac{1}{5}} (x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\log_{\frac{1}{5}} (x)) = \frac{1}{5^{\log_{\frac{1}{5}} (x)}}$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{1}{5^{x}})$ の値を求めます。

$f (\frac{1}{5^{x}}) = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5^{x}})$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$ は $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$

有限数学 例

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