有限数学例

$y = \sqrt{4 x} - 2$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{4 y} - 2$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\sqrt{4 y} - 2 = x$ として書き換えます。

$\sqrt{4 y} - 2 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\sqrt{4 y} = x + 2$

ステップ 2.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{4 y}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

ステップ 2.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 y}$ を ${(4 y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(4 y)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.2

簡約します。

$4 y = {(x + 2)}^{2}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

${(x + 2)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.1

${(x + 2)}^{2}$ を $(x + 2) (x + 2)$ に書き換えます。

$4 y = (x + 2) (x + 2)$

ステップ 2.4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$4 y = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

ステップ 2.4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$4 y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

ステップ 2.4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$4 y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

ステップ 2.4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$4 y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

ステップ 2.4.3.1.3.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$4 y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

ステップ 2.4.3.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

ステップ 2.4.3.1.3.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$4 y = x^{2} + 4 x + 4$

ステップ 2.5

$4 y = x^{2} + 4 x + 4$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$4 y = x^{2} + 4 x + 4$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

ステップ 2.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

ステップ 2.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

ステップ 2.5.3.1.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{4}{4}$

ステップ 2.5.3.1.2

$4$ を $4$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$ が $f (x) = \sqrt{4 x} - 2$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(\sqrt{4 x} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.3

括弧を削除します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(\sqrt{4 x} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 x}$ を ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.1.2

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.1.5.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.1.6

指数を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.1.7

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}} - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.7.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.1.7.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 1))}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.1.7.3

$2$ を $2 (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}} - 1))}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.1.8

積の法則を $2 (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{2^{2} {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.1.9

$2$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.3

${(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.4

${(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ を $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = (x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.5.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) - 1 (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.5.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.5.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.6.1.1

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.6.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.6.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.6.1.1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.6.1.1.4

$2$ を $2$ で割ります。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.6.1.2

$x^{1}$ を簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.6.1.3

$- 1$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.6.1.4

$- 1 x^{\frac{1}{2}}$ を $- x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.6.1.5

$- 1 x^{\frac{1}{2}}$ を $- x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.6.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.6.2

$- x^{\frac{1}{2}}$ から $x^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{2^{2} x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.4.8

累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2 \sqrt{x} - 2 + 1$

ステップ 4.2.5

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

$1$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1$

ステップ 4.2.5.2

$x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.2.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 0 + 2 \sqrt{x}$

ステップ 4.2.5.2.2

$x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x}$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1)$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + x + 1)} - 2$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{2^{2}} + x + 1)} - 2$

ステップ 4.3.3.1.2

$\frac{x^{2}}{2^{2}}$ を ${(\frac{x}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + x + 1)} - 2$

ステップ 4.3.3.1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + x + 1^{2})} - 2$

ステップ 4.3.3.1.4

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$x = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1$

ステップ 4.3.3.1.5

多項式を書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1 + 1^{2})} - 2$

ステップ 4.3.3.1.6

$a = \frac{x}{2}$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x}{2} + 1)}^{2}} - 2$

ステップ 4.3.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x}{2} + \frac{2}{2})}^{2}} - 2$

ステップ 4.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x + 2}{2})}^{2}} - 2$

ステップ 4.3.3.4

積の法則を $\frac{x + 2}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{2^{2}})} - 2$

ステップ 4.3.3.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{4})} - 2$

ステップ 4.3.3.6

$4$ と $\frac{{(x + 2)}^{2}}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}} - 2$

ステップ 4.3.3.7

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.7.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.7.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}} - 2$

ステップ 4.3.3.7.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{{(x + 2)}^{2}}{1}} - 2$

ステップ 4.3.3.7.2

${(x + 2)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{{(x + 2)}^{2}} - 2$

ステップ 4.3.3.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x + 2 - 2$

ステップ 4.3.4

$x + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x + 0$

ステップ 4.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$ は $f (x) = \sqrt{4 x} - 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

有限数学 例

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