有限数学例

$f (x) = - x^{2} + 6 x^{2} - 9 x + 6$

ステップ 1

$- x^{2}$ と $6 x^{2}$ をたし算します。

$f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 6$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 5$

ステップ 2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 3, \pm \frac{3}{5}, \pm 6, \pm \frac{6}{5}$

ステップ 3

$x = - 1$ のとき、組立除法を $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 1}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$

ステップ 3.2

被除数 $(5)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

ステップ 3.3

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 5)$ の結果を被除数 $(- 9)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$
	$5$

ステップ 3.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$
	$5$	$- 14$

ステップ 3.5

結果 $(- 14)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(14)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$	$14$
	$5$	$- 14$

ステップ 3.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$	$14$
	$5$	$- 14$	$20$

ステップ 3.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(5) x - 14 + \frac{20}{x + 1}$

ステップ 3.8

商の多項式を簡約します。

$5 x - 14 + \frac{20}{x + 1}$

ステップ 4

$- 1 < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- 1$ は関数の実根の下界です。

下界： $- 1$

ステップ 5

$x = - \frac{1}{5}$ のとき、組立除法を $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{1}{5}}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

ステップ 5.2

被除数 $(5)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

ステップ 5.3

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{1}{5})$ を掛け、 $(- 1)$ の結果を被除数 $(- 9)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$
	$5$

ステップ 5.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$
	$5$	$- 10$

ステップ 5.5

結果 $(- 10)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{1}{5})$ を掛け、 $(2)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$	$2$
	$5$	$- 10$

ステップ 5.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$	$2$
	$5$	$- 10$	$8$

ステップ 5.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(5) x - 10 + \frac{8}{x + \frac{1}{5}}$

ステップ 5.8

商の多項式を簡約します。

$5 x - 10 + \frac{40}{5 x + 1}$

ステップ 6

$- \frac{1}{5} < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- \frac{1}{5}$ は関数の実根の下界です。

下界： $- \frac{1}{5}$

ステップ 7

$x = 2$ のとき、組立除法を $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 2}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$2$	$5$	$- 9$	$6$

ステップ 7.2

被除数 $(5)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$2$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

ステップ 7.3

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(10)$ の結果を被除数 $(- 9)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$
	$5$

ステップ 7.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$
	$5$	$1$

ステップ 7.5

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(2)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$	$2$
	$5$	$1$

ステップ 7.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$	$2$
	$5$	$1$	$8$

ステップ 7.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(5) x + 1 + \frac{8}{x - 2}$

ステップ 7.8

商の多項式を簡約します。

$5 x + 1 + \frac{8}{x - 2}$

ステップ 8

$2 > 0$ と組立除法の最終行の符号のすべてが正なので、 $2$ は関数の実根の上界です。

上界： $2$

ステップ 9

$x = - 2$ のとき、組立除法を $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 2}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$

ステップ 9.2

被除数 $(5)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

ステップ 9.3

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(- 2)$ を掛け、 $(- 10)$ の結果を被除数 $(- 9)$ の隣の項の下に置きます。

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$
	$5$

ステップ 9.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$
	$5$	$- 19$

ステップ 9.5

結果 $(- 19)$ の最新の項目に除数 $(- 2)$ を掛け、 $(38)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$	$38$
	$5$	$- 19$

ステップ 9.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$	$38$
	$5$	$- 19$	$44$

ステップ 9.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(5) x - 19 + \frac{44}{x + 2}$

ステップ 9.8

商の多項式を簡約します。

$5 x - 19 + \frac{44}{x + 2}$

ステップ 10

$- 2 < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- 2$ は関数の実根の下界です。

下界： $- 2$

ステップ 11

$x = - \frac{2}{5}$ のとき、組立除法を $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{2}{5}}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

ステップ 11.2

被除数 $(5)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

ステップ 11.3

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{2}{5})$ を掛け、 $(- 2)$ の結果を被除数 $(- 9)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$
	$5$

ステップ 11.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$
	$5$	$- 11$

ステップ 11.5

結果 $(- 11)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{2}{5})$ を掛け、 $(\frac{22}{5})$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$	$\frac{22}{5}$
	$5$	$- 11$

ステップ 11.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$	$\frac{22}{5}$
	$5$	$- 11$	$\frac{52}{5}$

ステップ 11.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(5) x - 11 + \frac{\frac{52}{5}}{x + \frac{2}{5}}$

ステップ 11.8

商の多項式を簡約します。

$5 x - 11 + \frac{52}{5 x + 2}$

ステップ 12

$- \frac{2}{5} < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- \frac{2}{5}$ は関数の実根の下界です。

下界： $- \frac{2}{5}$

ステップ 13

$x = 3$ のとき、組立除法を $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 3}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$3$	$5$	$- 9$	$6$

ステップ 13.2

被除数 $(5)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$3$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

ステップ 13.3

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(15)$ の結果を被除数 $(- 9)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$
	$5$

ステップ 13.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$
	$5$	$6$

ステップ 13.5

結果 $(6)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(18)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$	$18$
	$5$	$6$

ステップ 13.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$	$18$
	$5$	$6$	$24$

ステップ 13.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(5) x + 6 + \frac{24}{x - 3}$

ステップ 13.8

商の多項式を簡約します。

$5 x + 6 + \frac{24}{x - 3}$

ステップ 14

$3 > 0$ と組立除法の最終行の符号のすべてが正なので、 $3$ は関数の実根の上界です。

上界： $3$

ステップ 15

$x = - 3$ のとき、組立除法を $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 3}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$

ステップ 15.2

被除数 $(5)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

ステップ 15.3

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(- 3)$ を掛け、 $(- 15)$ の結果を被除数 $(- 9)$ の隣の項の下に置きます。

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$
	$5$

ステップ 15.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$
	$5$	$- 24$

ステップ 15.5

結果 $(- 24)$ の最新の項目に除数 $(- 3)$ を掛け、 $(72)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$	$72$
	$5$	$- 24$

ステップ 15.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$	$72$
	$5$	$- 24$	$78$

ステップ 15.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(5) x - 24 + \frac{78}{x + 3}$

ステップ 15.8

商の多項式を簡約します。

$5 x - 24 + \frac{78}{x + 3}$

ステップ 16

$- 3 < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- 3$ は関数の実根の下界です。

下界： $- 3$

ステップ 17

$x = - \frac{3}{5}$ のとき、組立除法を $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{3}{5}}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

ステップ 17.2

被除数 $(5)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

ステップ 17.3

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{3}{5})$ を掛け、 $(- 3)$ の結果を被除数 $(- 9)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$
	$5$

ステップ 17.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$
	$5$	$- 12$

ステップ 17.5

結果 $(- 12)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{3}{5})$ を掛け、 $(\frac{36}{5})$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$	$\frac{36}{5}$
	$5$	$- 12$

ステップ 17.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$	$\frac{36}{5}$
	$5$	$- 12$	$\frac{66}{5}$

ステップ 17.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(5) x - 12 + \frac{\frac{66}{5}}{x + \frac{3}{5}}$

ステップ 17.8

商の多項式を簡約します。

$5 x - 12 + \frac{66}{5 x + 3}$

ステップ 18

$- \frac{3}{5} < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- \frac{3}{5}$ は関数の実根の下界です。

下界： $- \frac{3}{5}$

ステップ 19

$x = 6$ のとき、組立除法を $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 6}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$6$	$5$	$- 9$	$6$

ステップ 19.2

被除数 $(5)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$6$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

ステップ 19.3

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(6)$ を掛け、 $(30)$ の結果を被除数 $(- 9)$ の隣の項の下に置きます。

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$
	$5$

ステップ 19.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$
	$5$	$21$

ステップ 19.5

結果 $(21)$ の最新の項目に除数 $(6)$ を掛け、 $(126)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$	$126$
	$5$	$21$

ステップ 19.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$	$126$
	$5$	$21$	$132$

ステップ 19.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(5) x + 21 + \frac{132}{x - 6}$

ステップ 19.8

商の多項式を簡約します。

$5 x + 21 + \frac{132}{x - 6}$

ステップ 20

$6 > 0$ と組立除法の最終行の符号のすべてが正なので、 $6$ は関数の実根の上界です。

上界： $6$

ステップ 21

$x = - 6$ のとき、組立除法を $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 6}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$

ステップ 21.2

被除数 $(5)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

ステップ 21.3

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(- 6)$ を掛け、 $(- 30)$ の結果を被除数 $(- 9)$ の隣の項の下に置きます。

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$
	$5$

ステップ 21.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$
	$5$	$- 39$

ステップ 21.5

結果 $(- 39)$ の最新の項目に除数 $(- 6)$ を掛け、 $(234)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$	$234$
	$5$	$- 39$

ステップ 21.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$	$234$
	$5$	$- 39$	$240$

ステップ 21.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(5) x - 39 + \frac{240}{x + 6}$

ステップ 21.8

商の多項式を簡約します。

$5 x - 39 + \frac{240}{x + 6}$

ステップ 22

$- 6 < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- 6$ は関数の実根の下界です。

下界： $- 6$

ステップ 23

$x = - \frac{6}{5}$ のとき、組立除法を $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{6}{5}}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

ステップ 23.2

被除数 $(5)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

ステップ 23.3

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{6}{5})$ を掛け、 $(- 6)$ の結果を被除数 $(- 9)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$
	$5$

ステップ 23.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$
	$5$	$- 15$

ステップ 23.5

結果 $(- 15)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{6}{5})$ を掛け、 $(18)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$	$18$
	$5$	$- 15$

ステップ 23.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$	$18$
	$5$	$- 15$	$24$

ステップ 23.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(5) x - 15 + \frac{24}{x + \frac{6}{5}}$

ステップ 23.8

商の多項式を簡約します。

$5 x - 15 + \frac{120}{5 x + 6}$

ステップ 24

$- \frac{6}{5} < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- \frac{6}{5}$ は関数の実根の下界です。

下界： $- \frac{6}{5}$

ステップ 25

上界と下界を判定します。

上界： $2, 3, 6$

下界： $- 1, - \frac{1}{5}, - 2, - \frac{2}{5}, - 3, - \frac{3}{5}, - 6, - \frac{6}{5}$

ステップ 26

有限数学 例

有限数学例