有限数学例

${(1 + 2 i)}^{3}$

ステップ 1

パスカルの三角形はこのように表すことができます：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

三角形は、指数 $n$ をとり $1$ を足すと ${(a + b)}^{n}$ の展開の係数を計算するために利用することができます。係数は三角形の線 $n + 1$ に対応します。 ${(1 + 2 i)}^{3}$ に対して $n = 3$ なので、展開の係数は線 $4$ に対応します。

ステップ 2

展開は法則 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ に従います。三角形からの係数の値は $1 - 3 - 3 - 1$ です。

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

ステップ 3

$a$ $1$ と $b$ $2 i$ の実価を式に代入します。

$1 {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

指数を足して $1$ に ${(1)}^{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.1.1

$1$ に ${(1)}^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1.1

$1$ を $1$ 乗します。

$1^{1} {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1^{1 + 3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$1^{4} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.2

$1^{4} {(2 i)}^{0}$ を簡約します。

$1^{4} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.5

$3$ に $1$ をかけます。

$1 + 3 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.6

簡約します。

$1 + 3 (2 i) + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.7

$2$ に $3$ をかけます。

$1 + 6 i + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.8

指数を求めます。

$1 + 6 i + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.9

$3$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 i + 3 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.10

積の法則を $2 i$ に当てはめます。

$1 + 6 i + 3 (2^{2} i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.11

$2$ を $2$ 乗します。

$1 + 6 i + 3 (4 i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.12

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 6 i + 3 (4 \cdot - 1) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.13

$3 (4 \cdot - 1)$ を掛けます。

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ステップ 4.1.13.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 6 i + 3 \cdot - 4 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.13.2

$3$ に $- 4$ をかけます。

$1 + 6 i - 12 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.14

指数を足して $1$ に ${(1)}^{0}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.14.1

$1$ に ${(1)}^{0}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.14.1.1

$1$ を $1$ 乗します。

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.14.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + 6 i - 12 + 1^{1 + 0} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.14.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.15

$1^{1} {(2 i)}^{3}$ を簡約します。

$1 + 6 i - 12 + {(2 i)}^{3}$

ステップ 4.1.16

積の法則を $2 i$ に当てはめます。

$1 + 6 i - 12 + 2^{3} i^{3}$

ステップ 4.1.17

$2$ を $3$ 乗します。

$1 + 6 i - 12 + 8 i^{3}$

ステップ 4.1.18

$i^{2}$ を因数分解します。

$1 + 6 i - 12 + 8 (i^{2} \cdot i)$

ステップ 4.1.19

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 6 i - 12 + 8 (- 1 \cdot i)$

ステップ 4.1.20

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$1 + 6 i - 12 + 8 (- i)$

ステップ 4.1.21

$- 1$ に $8$ をかけます。

$1 + 6 i - 12 - 8 i$

ステップ 4.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ から $12$ を引きます。

$- 11 + 6 i - 8 i$

ステップ 4.2.2

$6 i$ から $8 i$ を引きます。

$- 11 - 2 i$

有限数学 例

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