有限数学例

$a^{3} - 25 a < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$a^{3} - 25 a = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$a$ を $a^{3} - 25 a$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$a$ を $a^{3}$ で因数分解します。

$a \cdot a^{2} - 25 a = 0$

ステップ 2.1.2

$a$ を $- 25 a$ で因数分解します。

$a \cdot a^{2} + a \cdot - 25 = 0$

ステップ 2.1.3

$a$ を $a \cdot a^{2} + a \cdot - 25$ で因数分解します。

$a (a^{2} - 25) = 0$

ステップ 2.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$a (a^{2} - 5^{2}) = 0$

ステップ 2.3

因数分解。

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ステップ 2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = 5$ です。

$a ((a + 5) (a - 5)) = 0$

ステップ 2.3.2

不要な括弧を削除します。

$a (a + 5) (a - 5) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$a = 0$

$a + 5 = 0$

$a - 5 = 0$

ステップ 4

$a$ が $0$ に等しいとします。

$a = 0$

ステップ 5

$a + 5$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

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ステップ 5.1

$a + 5$ が $0$ に等しいとします。

$a + 5 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$a = - 5$

ステップ 6

$a - 5$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

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ステップ 6.1

$a - 5$ が $0$ に等しいとします。

$a - 5 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$a = 5$

ステップ 7

最終解は $a (a + 5) (a - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$a = 0, - 5, 5$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$a < - 5$

$- 5 < a < 0$

$0 < a < 5$

$a > 5$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $a < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $a < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$a = - 8$

ステップ 9.1.2

$a$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

${(- 8)}^{3} - 25 \cdot - 8 < 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $- 312$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.2

区間 $- 5 < a < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 5 < a < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$a = - 2$

ステップ 9.2.2

$a$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{3} - 25 \cdot - 2 < 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $42$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.3

区間 $0 < a < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $0 < a < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$a = 2$

ステップ 9.3.2

$a$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{3} - 25 \cdot 2 < 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $- 42$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.4

区間 $a > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.4.1

区間 $a > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$a = 8$

ステップ 9.4.2

$a$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

${(8)}^{3} - 25 \cdot 8 < 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $312$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$a < - 5$ 真

$- 5 < a < 0$ 偽

$0 < a < 5$ 真

$a > 5$ 偽

$a < - 5$ 真

$- 5 < a < 0$ 偽

$0 < a < 5$ 真

$a > 5$ 偽

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$a < - 5$ または $0 < a < 5$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 5) \cup (0, 5)$

ステップ 12

有限数学 例

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