有限数学例

$3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$0$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$3 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $b = 0$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

ステップ 4.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$0 - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

ステップ 4.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 5 \cdot 0 + 2 (0)$

ステップ 4.1.4

$- 5$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 2 (0)$

ステップ 4.1.5

$2$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0$

ステップ 4.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0$

ステップ 4.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$0$ は既知の根なので、多項式を $b + 0$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b}{b + 0}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$

ステップ 6.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$

	$3$

ステップ 6.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(- 5)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$
	$3$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$
	$3$	$- 5$

ステップ 6.5

結果 $(- 5)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(2)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$
	$3$	$- 5$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$

ステップ 6.7

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 b^{2} + - 5 b + 2$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$3 b^{2} - 5 b + 2$

ステップ 7

群による因数分解。

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ステップ 7.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 7.1.1

$- 5$ を $- 5 b$ で因数分解します。

$(b + 0) + 3 b^{2} - 5 b + 2$

ステップ 7.1.2

$- 5$ を $- 2$ プラス $- 3$ に書き換える

$(b + 0) + 3 b^{2} + (- 2 - 3) b + 2$

ステップ 7.1.3

分配則を当てはめます。

$(b + 0) + 3 b^{2} - 2 b - 3 b + 2$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(b + 0) (3 b^{2} - 2 b) - 3 b + 2$

ステップ 7.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(b + 0) + b (3 b - 2) - (3 b - 2)$

ステップ 7.3

最大公約数 $3 b - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(b + 0) + (3 b - 2) (b - 1)$

$(b + 0) (3 b - 2) (b - 1)$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

$b$ を $3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b$ で因数分解します。

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ステップ 8.1.1

$b$ を $3 b^{3}$ で因数分解します。

$b (3 b^{2}) - 5 b^{2} + 2 b = 0$

ステップ 8.1.2

$b$ を $- 5 b^{2}$ で因数分解します。

$b (3 b^{2}) + b (- 5 b) + 2 b = 0$

ステップ 8.1.3

$b$ を $2 b$ で因数分解します。

$b (3 b^{2}) + b (- 5 b) + b \cdot 2 = 0$

ステップ 8.1.4

$b$ を $b (3 b^{2}) + b (- 5 b)$ で因数分解します。

$b (3 b^{2} - 5 b) + b \cdot 2 = 0$

ステップ 8.1.5

$b$ を $b (3 b^{2} - 5 b) + b \cdot 2$ で因数分解します。

$b (3 b^{2} - 5 b + 2) = 0$

ステップ 8.2

因数分解。

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ステップ 8.2.1

群による因数分解。

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ステップ 8.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 8.2.1.1.1

$- 5$ を $- 5 b$ で因数分解します。

$b (3 b^{2} - 5 b + 2) = 0$

ステップ 8.2.1.1.2

$- 5$ を $- 2$ プラス $- 3$ に書き換える

$b (3 b^{2} + (- 2 - 3) b + 2) = 0$

ステップ 8.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$b (3 b^{2} - 2 b - 3 b + 2) = 0$

ステップ 8.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 8.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$b ((3 b^{2} - 2 b) - 3 b + 2) = 0$

ステップ 8.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$b (b (3 b - 2) - (3 b - 2)) = 0$

ステップ 8.2.1.3

最大公約数 $3 b - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$b ((3 b - 2) (b - 1)) = 0$

ステップ 8.2.2

不要な括弧を削除します。

$b (3 b - 2) (b - 1) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$b = 0$

$3 b - 2 = 0$

$b - 1 = 0$

ステップ 10

$b$ が $0$ に等しいとします。

$b = 0$

ステップ 11

$3 b - 2$ を $0$ に等しくし、 $b$ を解きます。

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ステップ 11.1

$3 b - 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 b - 2 = 0$

ステップ 11.2

$b$ について $3 b - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3 b = 2$

ステップ 11.2.2

$3 b = 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$3 b = 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 b}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 11.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 11.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 b}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 11.2.2.2.1.2

$b$ を $1$ で割ります。

$b = \frac{2}{3}$

ステップ 12

$b - 1$ を $0$ に等しくし、 $b$ を解きます。

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ステップ 12.1

$b - 1$ が $0$ に等しいとします。

$b - 1 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$b = 1$

ステップ 13

最終解は $b (3 b - 2) (b - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$b = 0, \frac{2}{3}, 1$

ステップ 14

有限数学 例

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