有限数学例

$2 x^{10} - 6 x^{9} + 10 x^{9} - 126 x^{8}$

ステップ 1

$- 6 x^{9}$ と $10 x^{9}$ をたし算します。

$y = 2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}$

ステップ 2

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 3

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$0$

ステップ 4

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$2 {(0)}^{10} + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

ステップ 5

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 0$ は多項式の根です。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2 \cdot 0 + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

ステップ 5.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$0 + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

ステップ 5.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 4 \cdot 0 - 126 {(0)}^{8}$

ステップ 5.1.4

$4$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 126 {(0)}^{8}$

ステップ 5.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 - 126 \cdot 0$

ステップ 5.1.6

$- 126$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0$

$0 + 0 + 0$

ステップ 5.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0$

ステップ 5.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

$0$

$0$

ステップ 6

$0$ は既知の根なので、多項式を $x + 0$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}}{x + 0}$

ステップ 7

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 7.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

ステップ 7.2

被除数 $(2)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

	$2$

ステップ 7.3

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(4)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$2$

ステップ 7.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$2$	$4$

ステップ 7.5

結果 $(4)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(- 126)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$4$

ステップ 7.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$

ステップ 7.7

結果 $(- 126)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$

ステップ 7.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$

ステップ 7.9

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$

ステップ 7.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$

ステップ 7.11

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$

ステップ 7.12

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$

ステップ 7.13

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$

ステップ 7.14

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$

ステップ 7.15

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$

ステップ 7.16

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

ステップ 7.17

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

ステップ 7.18

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

ステップ 7.19

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

ステップ 7.20

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

ステップ 7.21

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

ステップ 7.22

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

ステップ 7.23

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7} + 0 x^{6} + 0 x^{5} + 0 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + (0) x + 0$

ステップ 7.24

商の多項式を簡約します。

$2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7}$

$2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7}$

ステップ 8

$2 x^{7}$ を $2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7}$ で因数分解します。

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ステップ 8.1

$2 x^{7}$ を $2 x^{9}$ で因数分解します。

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 4 x^{8} - 126 x^{7})$

ステップ 8.2

$2 x^{7}$ を $4 x^{8}$ で因数分解します。

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x) - 126 x^{7})$

ステップ 8.3

$2 x^{7}$ を $- 126 x^{7}$ で因数分解します。

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x) + 2 x^{7} (- 63))$

ステップ 8.4

$2 x^{7}$ を $2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x)$ で因数分解します。

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{7} (- 63))$

ステップ 8.5

$2 x^{7}$ を $2 x^{7} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{7} (- 63)$ で因数分解します。

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2} + 2 x - 63))$

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2} + 2 x - 63))$

ステップ 9

因数分解。

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ステップ 9.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 63$ を因数分解します。

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ステップ 9.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 63$ で、その和が $2$ です。

$- 7, 9$

ステップ 9.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 0) (2 x^{7} ((x - 7) (x + 9)))$

$(x + 0) (2 x^{7} ((x - 7) (x + 9)))$

ステップ 9.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 0) (2 x^{7} (x - 7) (x + 9))$

$(x + 0) (2 x^{7} (x - 7) (x + 9))$

ステップ 10

$- 6 x^{9}$ と $10 x^{9}$ をたし算します。

$2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8} = 0$

ステップ 11

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 11.1

$2 x^{8}$ を $2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}$ で因数分解します。

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ステップ 11.1.1

$2 x^{8}$ を $2 x^{10}$ で因数分解します。

$2 x^{8} (x^{2}) + 4 x^{9} - 126 x^{8} = 0$

ステップ 11.1.2

$2 x^{8}$ を $4 x^{9}$ で因数分解します。

$2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x) - 126 x^{8} = 0$

ステップ 11.1.3

$2 x^{8}$ を $- 126 x^{8}$ で因数分解します。

$2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x) + 2 x^{8} (- 63) = 0$

ステップ 11.1.4

$2 x^{8}$ を $2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x)$ で因数分解します。

$2 x^{8} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{8} (- 63) = 0$

ステップ 11.1.5

$2 x^{8}$ を $2 x^{8} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{8} (- 63)$ で因数分解します。

$2 x^{8} (x^{2} + 2 x - 63) = 0$

$2 x^{8} (x^{2} + 2 x - 63) = 0$

ステップ 11.2

因数分解。

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ステップ 11.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 63$ を因数分解します。

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ステップ 11.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 63$ で、その和が $2$ です。

$- 7, 9$

ステップ 11.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$2 x^{8} ((x - 7) (x + 9)) = 0$

$2 x^{8} ((x - 7) (x + 9)) = 0$

ステップ 11.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$

$2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$

$2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$

ステップ 12

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{8} = 0$

$x - 7 = 0$

$x + 9 = 0$

ステップ 13

$x^{8}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x^{8}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{8} = 0$

ステップ 13.2

$x$ について $x^{8} = 0$ を解きます。

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ステップ 13.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[8]{0}$

ステップ 13.2.2

$\pm \sqrt[8]{0}$ を簡約します。

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ステップ 13.2.2.1

$0$ を $0^{8}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[8]{0^{8}}$

ステップ 13.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 13.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

$x = 0$

$x = 0$

$x = 0$

ステップ 14

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 14.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 14.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

$x = 7$

ステップ 15

$x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 15.1

$x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x + 9 = 0$

ステップ 15.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x = - 9$

$x = - 9$

ステップ 16

最終解は $2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 7, - 9$

ステップ 17

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$