有限数学例

$10 x - 25 - x^{2} < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$10 x - 25 - x^{2} = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$- 1$ を $10 x - 25 - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

式を並べ替えます。

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ステップ 2.1.1.1

$- 25$ を移動させます。

$10 x - x^{2} - 25 = 0$

ステップ 2.1.1.2

$10 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + 10 x - 25 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + 10 x - 25 = 0$

ステップ 2.1.3

$- 1$ を $10 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 25 = 0$

ステップ 2.1.4

$- 25$ を $- 1 (25)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

ステップ 2.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 10 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

ステップ 2.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} - 10 x) - 1 (25)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

ステップ 2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$- (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 2.2.3

多項式を書き換えます。

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 2.2.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- {(x - 5)}^{2} = 0$

ステップ 3

$- {(x - 5)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$- {(x - 5)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- {(x - 5)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 3.2.2

${(x - 5)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

${(x - 5)}^{2} = 0$

ステップ 4

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 5

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 5$

$x > 5$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$10 (0) - 25 - {(0)}^{2} < 0$

ステップ 7.1.3

左辺 $- 25$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.2

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$10 (8) - 25 - {(8)}^{2} < 0$

ステップ 7.2.3

左辺 $- 9$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 5$ 真

$x > 5$ 真

$x < 5$ 真

$x > 5$ 真

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$x < 5$ または $x > 5$

ステップ 9

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

ステップ 10

有限数学 例

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