有限数学例

$2 x^{2} - 9 x - 5 < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ で和が $b = - 9$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$- 9$ を $- 9 x$ で因数分解します。

$2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 9$ を $1$ プラス $- 10$ に書き換える

$2 x^{2} + (1 - 10) x - 5 = 0$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 1 x - 10 x - 5 = 0$

ステップ 2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} + x - 10 x - 5 = 0$

ステップ 2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{2} + x) - 10 x - 5 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (2 x + 1) - 5 (2 x + 1) = 0$

ステップ 2.3

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x + 1) (x - 5) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 4

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 4.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 6

最終解は $(2 x + 1) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, 5$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 5$

$x > 5$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < - \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < - \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$2 {(- 3)}^{2} - 9 \cdot - 3 - 5 < 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $40$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.2

区間 $- \frac{1}{2} < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $- \frac{1}{2} < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$2 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 - 5 < 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $- 5$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.3

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$2 {(8)}^{2} - 9 \cdot 8 - 5 < 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $51$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{1}{2}$ 偽

$- \frac{1}{2} < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

$x < - \frac{1}{2}$ 偽

$- \frac{1}{2} < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$- \frac{1}{2} < x < 5$

ステップ 10

不等式を区間記号に変換します。

$(- \frac{1}{2}, 5)$

ステップ 11

有限数学 例

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