有限数学例

$x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 18$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

項を再分類します。

$3 x^{3} - 9 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

ステップ 1.2

$3 x$ を $3 x^{3} - 9 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$3 x$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$3 x (x^{2}) - 9 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

ステップ 1.2.2

$3 x$ を $- 9 x$ で因数分解します。

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

ステップ 1.2.3

$3 x$ を $3 x (x^{2}) + 3 x (- 3)$ で因数分解します。

$3 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

ステップ 1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$3 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 18 = 0$

ステップ 1.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$3 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 3 u - 18 = 0$

ステップ 1.5

たすき掛けを利用して $u^{2} + 3 u - 18$ を因数分解します。

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ステップ 1.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 18$ で、その和が $3$ です。

$- 3, 6$

ステップ 1.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 6) = 0$

ステップ 1.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$3 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

ステップ 1.7

$x^{2} - 3$ を $3 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ で因数分解します。

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ステップ 1.7.1

$x^{2} - 3$ を $3 x (x^{2} - 3)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

ステップ 1.7.2

$x^{2} - 3$ を $(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 3) (3 x + x^{2} + 6) = 0$

ステップ 1.8

項を並べ替えます。

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 3 x + 6) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

ステップ 3

$x^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 3.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 3.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 3.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 4

$x^{2} + 3 x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x^{2} + 3 x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{2} + 3 x + 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.2.2

$a = 1$ 、 $b = 3$ 、および $c = 6$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3

簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 6$ を掛けます。

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ステップ 4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.3

$9$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.4

$- 15$ を $- 1 (15)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (15)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

ステップ 4.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 4.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 6$ を掛けます。

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ステップ 4.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.2.2

$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.3

$9$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.4

$- 15$ を $- 1 (15)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (15)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

ステップ 4.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{15}}{2}$

ステップ 4.2.4.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{15}}{2}$

ステップ 4.2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{15}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{15})}{2}$

ステップ 4.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (- i \sqrt{15})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{15})}{2}$

ステップ 4.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}$

ステップ 4.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 6$ を掛けます。

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ステップ 4.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.2.2

$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.3

$9$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.4

$- 15$ を $- 1 (15)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (15)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

ステップ 4.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{15}}{2}$

ステップ 4.2.5.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{15}}{2}$

ステップ 4.2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{15}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{15})}{2}$

ステップ 4.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (i \sqrt{15})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{15})}{2}$

ステップ 4.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

ステップ 4.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

ステップ 5

最終解は $(x^{2} - 3) (x^{2} + 3 x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

ステップ 6

有限数学 例

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