有限数学例

$x^{3} - 10 x^{2} + 44 x - 69$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 23, \pm 69$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3, \pm 23, \pm 69$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(3)}^{3} - 10 {(3)}^{2} + 44 (3) - 69$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 3$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$27 - 10 {(3)}^{2} + 44 (3) - 69$

ステップ 4.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$27 - 10 \cdot 9 + 44 (3) - 69$

ステップ 4.1.3

$- 10$ に $9$ をかけます。

$27 - 90 + 44 (3) - 69$

ステップ 4.1.4

$44$ に $3$ をかけます。

$27 - 90 + 132 - 69$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$27$ から $90$ を引きます。

$- 63 + 132 - 69$

ステップ 4.2.2

$- 63$ と $132$ をたし算します。

$69 - 69$

ステップ 4.2.3

$69$ から $69$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$3$ は既知の根なので、多項式を $x - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 44 x - 69}{x - 3}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$3$	$1$	$- 10$	$44$	$- 69$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$3$	$1$	$- 10$	$44$	$- 69$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(3)$ の結果を被除数 $(- 10)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$- 10$	$44$	$- 69$
		$3$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$- 10$	$44$	$- 69$
		$3$
	$1$	$- 7$

ステップ 6.5

結果 $(- 7)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(- 21)$ の結果を被除数 $(44)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$- 10$	$44$	$- 69$
		$3$	$- 21$
	$1$	$- 7$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$- 10$	$44$	$- 69$
		$3$	$- 21$
	$1$	$- 7$	$23$

ステップ 6.7

結果 $(23)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(69)$ の結果を被除数 $(- 69)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$- 10$	$44$	$- 69$
		$3$	$- 21$	$69$
	$1$	$- 7$	$23$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$- 10$	$44$	$- 69$
		$3$	$- 21$	$69$
	$1$	$- 7$	$23$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + - 7 x + 23$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} - 7 x + 23$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.2

$a = 1$ 、 $b = - 7$ 、および $c = 23$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 23)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 23$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.2.2

$- 4$ に $23$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 92}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.3

$49$ から $92$ を引きます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.4

$- 43$ を $- 1 (43)$ に書き換えます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.5

$\sqrt{- 1 (43)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{43}$ に書き換えます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{7 \pm i \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm i \sqrt{43}}{2}$

ステップ 7.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 23$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.2.2

$- 4$ に $23$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 92}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.3

$49$ から $92$ を引きます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.4

$- 43$ を $- 1 (43)$ に書き換えます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.5

$\sqrt{- 1 (43)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{43}$ に書き換えます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{7 \pm i \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm i \sqrt{43}}{2}$

ステップ 7.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{7 + i \sqrt{43}}{2}$

ステップ 7.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.5.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 23$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.2.2

$- 4$ に $23$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 92}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.3

$49$ から $92$ を引きます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.4

$- 43$ を $- 1 (43)$ に書き換えます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.5

$\sqrt{- 1 (43)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{43}$ に書き換えます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{7 \pm i \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm i \sqrt{43}}{2}$

ステップ 7.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{7 - i \sqrt{43}}{2}$

ステップ 7.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{7 + i \sqrt{43}}{2}, \frac{7 - i \sqrt{43}}{2}$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x - 3) (x - \frac{7 + i \sqrt{43}}{2}) (x - \frac{7 - i \sqrt{43}}{2})$

ステップ 9

多項式 $x^{3} - 10 x^{2} + 44 x - 69$ の根（0）です。

$x = 3, \frac{7 + i \sqrt{43}}{2}, \frac{7 - i \sqrt{43}}{2}$

ステップ 10

有限数学 例

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