有限数学例

$t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{2} - 10 t - 15$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $t = - 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1 - 2 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

ステップ 4.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 2 + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 2 + 2 \cdot 1 - 10 \cdot - 1 - 15$

ステップ 4.1.5

$2$ に $1$ をかけます。

$1 + 2 + 2 - 10 \cdot - 1 - 15$

ステップ 4.1.6

$- 10$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 2 + 2 + 10 - 15$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 + 2 + 10 - 15$

ステップ 4.2.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$5 + 10 - 15$

ステップ 4.2.3

$5$ と $10$ をたし算します。

$15 - 15$

ステップ 4.2.4

$15$ から $15$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $t + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{2} - 10 t - 15}{t + 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 1)$ の結果を被除数 $(- 2)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$
	$1$	$- 3$

ステップ 6.5

結果 $(- 3)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(3)$ の結果を被除数 $(2)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$	$5$

ステップ 6.7

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 5)$ の結果を被除数 $(- 10)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$
	$1$	$- 3$	$5$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$

ステップ 6.9

結果 $(- 15)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(15)$ の結果を被除数 $(- 15)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$	$15$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$	$15$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 t^{3} + - 3 t^{2} + (5) t - 15$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$t^{3} - 3 t^{2} + 5 t - 15$

ステップ 7

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(t + 1) (t^{3} - 3 t^{2}) + 5 t - 15$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(t + 1) + t^{2} (t - 3) + 5 (t - 3)$

$(t + 1) t^{2} (t - 3) + 5 (t - 3)$

ステップ 8

最大公約数 $t - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(t + 1) (t - 3) (t^{2} + 5)$

ステップ 9

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 9.1

項を再分類します。

$- 2 t^{3} - 10 t + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

ステップ 9.2

$- 2 t$ を $- 2 t^{3} - 10 t$ で因数分解します。

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ステップ 9.2.1

$- 2 t$ を $- 2 t^{3}$ で因数分解します。

$- 2 t \cdot t^{2} - 10 t + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

ステップ 9.2.2

$- 2 t$ を $- 10 t$ で因数分解します。

$- 2 t \cdot t^{2} - 2 t \cdot 5 + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

ステップ 9.2.3

$- 2 t$ を $- 2 t (t^{2}) - 2 t (5)$ で因数分解します。

$- 2 t (t^{2} + 5) + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

ステップ 9.3

$t^{4}$ を ${(t^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 2 t (t^{2} + 5) + {(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} - 15 = 0$

ステップ 9.4

$u = t^{2}$ とします。 $u$ を $t^{2}$ に代入します。

$- 2 t (t^{2} + 5) + u^{2} + 2 u - 15 = 0$

ステップ 9.5

たすき掛けを利用して $u^{2} + 2 u - 15$ を因数分解します。

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ステップ 9.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $2$ です。

$- 3, 5$

ステップ 9.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 2 t (t^{2} + 5) + (u - 3) (u + 5) = 0$

ステップ 9.6

$u$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$- 2 t (t^{2} + 5) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5) = 0$

ステップ 9.7

$t^{2} + 5$ を $- 2 t (t^{2} + 5) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5)$ で因数分解します。

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ステップ 9.7.1

$t^{2} + 5$ を $- 2 t (t^{2} + 5)$ で因数分解します。

$(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5) = 0$

ステップ 9.7.2

$t^{2} + 5$ を $(t^{2} - 3) (t^{2} + 5)$ で因数分解します。

$(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} + 5) (t^{2} - 3) = 0$

ステップ 9.7.3

$t^{2} + 5$ を $(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} + 5) (t^{2} - 3)$ で因数分解します。

$(t^{2} + 5) (- 2 t + t^{2} - 3) = 0$

ステップ 9.8

$u = t$ とします。 $u$ を $t$ に代入します。

$(t^{2} + 5) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

ステップ 9.9

たすき掛けを利用して $- 2 u + u^{2} - 3$ を因数分解します。

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ステップ 9.9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 9.9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(t^{2} + 5) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

ステップ 9.10

因数分解。

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ステップ 9.10.1

$u$ のすべての発生を $t$ で置き換えます。

$(t^{2} + 5) ((t - 3) (t + 1)) = 0$

ステップ 9.10.2

不要な括弧を削除します。

$(t^{2} + 5) (t - 3) (t + 1) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$t^{2} + 5 = 0$

$t - 3 = 0$

$t + 1 = 0$

ステップ 11

$t^{2} + 5$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 11.1

$t^{2} + 5$ が $0$ に等しいとします。

$t^{2} + 5 = 0$

ステップ 11.2

$t$ について $t^{2} + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$t^{2} = - 5$

ステップ 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

ステップ 11.2.3

$\pm \sqrt{- 5}$ を簡約します。

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ステップ 11.2.3.1

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

ステップ 11.2.3.2

$\sqrt{- 1 (5)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ に書き換えます。

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

ステップ 11.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$t = \pm i \sqrt{5}$

ステップ 11.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = i \sqrt{5}$

ステップ 11.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - i \sqrt{5}$

ステップ 11.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

ステップ 12

$t - 3$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 12.1

$t - 3$ が $0$ に等しいとします。

$t - 3 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$t = 3$

ステップ 13

$t + 1$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 13.1

$t + 1$ が $0$ に等しいとします。

$t + 1 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$t = - 1$

ステップ 14

最終解は $(t^{2} + 5) (t - 3) (t + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, 3, - 1$

ステップ 15

有限数学 例

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