有限数学例

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$4 {(\frac{1}{2})}^{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = \frac{1}{2}$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$4 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{1}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

ステップ 4.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$4 (\frac{1}{16}) + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

ステップ 4.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$4 \frac{1}{4 (4)} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

ステップ 4.1.4.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

ステップ 4.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

ステップ 4.1.5

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4$

ステップ 4.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1}{2^{2}} - 4$

ステップ 4.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4} + 15 (\frac{1}{4}) - 4$

ステップ 4.1.8

$15$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} + \frac{15}{4} - 4$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

公分母の分子をまとめます。

$- 4 + \frac{1 + 15}{4}$

ステップ 4.2.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$1$ と $15$ をたし算します。

$- 4 + \frac{16}{4}$

ステップ 4.2.2.2

$16$ を $4$ で割ります。

$- 4 + 4$

ステップ 4.2.2.3

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は既知の根なので、多項式を $x - \frac{1}{2}$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{4 x^{4} + 15 x^{2} - 4}{x - \frac{1}{2}}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

ステップ 6.2

被除数 $(4)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

	$4$

ステップ 6.3

結果 $(4)$ の最新の項目に除数 $(\frac{1}{2})$ を掛け、 $(2)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$	$2$

ステップ 6.5

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(\frac{1}{2})$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(15)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$	$16$

ステップ 6.7

結果 $(16)$ の最新の項目に除数 $(\frac{1}{2})$ を掛け、 $(8)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$	$8$

ステップ 6.9

結果 $(8)$ の最新の項目に除数 $(\frac{1}{2})$ を掛け、 $(4)$ の結果を被除数 $(- 4)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 8$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$

ステップ 7

$2$ を $4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 16 x + 8)$

ステップ 7.2

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 16 x + 8)$

ステップ 7.3

$2$ を $16 x$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (8 x) + 8)$

ステップ 7.4

$2$ を $8$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

ステップ 7.5

$2$ を $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

ステップ 7.6

$2$ を $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x)$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4)$

ステップ 7.7

$2$ を $2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4))$

ステップ 8

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 8.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x^{3} + x^{2}) + 8 x + 4))$

ステップ 8.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (2 x + 1) + 4 (2 x + 1)))$

ステップ 9

因数分解。

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ステップ 9.1

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x + 1) (x^{2} + 4)))$

ステップ 9.2

不要な括弧を削除します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x + 1) (x^{2} + 4))$

ステップ 10

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$4 u^{2} + 15 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 11

群による因数分解。

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ステップ 11.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot - 4 = - 16$ で和が $b = 15$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 11.1.1

$15$ を $15 u$ で因数分解します。

$4 u^{2} + 15 (u) - 4 = 0$

ステップ 11.1.2

$15$ を $- 1$ プラス $16$ に書き換える

$4 u^{2} + (- 1 + 16) u - 4 = 0$

ステップ 11.1.3

分配則を当てはめます。

$4 u^{2} - 1 u + 16 u - 4 = 0$

ステップ 11.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 11.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(4 u^{2} - 1 u) + 16 u - 4 = 0$

ステップ 11.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (4 u - 1) + 4 (4 u - 1) = 0$

ステップ 11.3

最大公約数 $4 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(4 u - 1) (u + 4) = 0$

ステップ 12

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$4 u - 1 = 0$

$u + 4 = 0$

ステップ 13

$4 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 13.1

$4 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 u - 1 = 0$

ステップ 13.2

$u$ について $4 u - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 13.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$4 u = 1$

ステップ 13.2.2

$4 u = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 13.2.2.1

$4 u = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 13.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 13.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 13.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{4}$

ステップ 14

$u + 4$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 14.1

$u + 4$ が $0$ に等しいとします。

$u + 4 = 0$

ステップ 14.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$u = - 4$

ステップ 15

最終解は $(4 u - 1) (u + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{4}, - 4$

ステップ 16

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

ステップ 17

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = \frac{1}{4}$

ステップ 18

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 18.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

ステップ 18.2

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 18.2.1

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

ステップ 18.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

ステップ 18.2.3

分母を簡約します。

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ステップ 18.2.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 18.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{1}{2}$

ステップ 18.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 18.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 18.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 18.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

ステップ 19

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = - 4$

ステップ 20

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 20.1

括弧を削除します。

$x^{2} = - 4$

ステップ 20.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 20.3

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

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ステップ 20.3.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 20.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 20.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 20.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 20.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 20.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 20.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 20.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 20.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 20.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 21

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4 = 0$ の解は $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$ です。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$

ステップ 22

有限数学 例

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