有限数学例

$4 r^{2} + 20 r + 25$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$4 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $r = - \frac{5}{2}$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1.1.1

積の法則を $- \frac{5}{2}$ に当てはめます。

$4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

ステップ 4.1.1.2

積の法則を $\frac{5}{2}$ に当てはめます。

$4 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$4 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

ステップ 4.1.3

$\frac{5^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

ステップ 4.1.4

$5$ を $2$ 乗します。

$4 \frac{25}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

ステップ 4.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

ステップ 4.1.6

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.6.1

共通因数を約分します。

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

ステップ 4.1.6.2

式を書き換えます。

$25 + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

ステップ 4.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.7.1

$- \frac{5}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$25 + 20 (\frac{- 5}{2}) + 25$

ステップ 4.1.7.2

$2$ を $20$ で因数分解します。

$25 + 2 (10) \frac{- 5}{2} + 25$

ステップ 4.1.7.3

共通因数を約分します。

$25 + 2 \cdot 10 \frac{- 5}{2} + 25$

ステップ 4.1.7.4

式を書き換えます。

$25 + 10 \cdot - 5 + 25$

ステップ 4.1.8

$10$ に $- 5$ をかけます。

$25 - 50 + 25$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$25$ から $50$ を引きます。

$- 25 + 25$

ステップ 4.2.2

$- 25$ と $25$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$- \frac{5}{2}$ は既知の根なので、多項式を $r + \frac{5}{2}$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{4 r^{2} + 20 r + 25}{r + \frac{5}{2}}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

ステップ 6.2

被除数 $(4)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

	$4$

ステップ 6.3

結果 $(4)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{5}{2})$ を掛け、 $(- 10)$ の結果を被除数 $(20)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$	$10$

ステップ 6.5

結果 $(10)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{5}{2})$ を掛け、 $(- 25)$ の結果を被除数 $(25)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$	$0$

ステップ 6.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(4) r + 10$

ステップ 6.8

商の多項式を簡約します。

$4 r + 10$

ステップ 7

$2$ を $4 r + 10$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$2$ を $4 r$ で因数分解します。

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 10)$

ステップ 7.2

$2$ を $10$ で因数分解します。

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 2 (5))$

ステップ 7.3

$2$ を $2 (2 r) + 2 (5)$ で因数分解します。

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r + 5))$

ステップ 8

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 8.1

$4 r^{2}$ を ${(2 r)}^{2}$ に書き換えます。

${(2 r)}^{2} + 20 r + 25 = 0$

ステップ 8.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

${(2 r)}^{2} + 20 r + 5^{2} = 0$

ステップ 8.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$20 r = 2 \cdot (2 r) \cdot 5$

ステップ 8.4

多項式を書き換えます。

${(2 r)}^{2} + 2 \cdot (2 r) \cdot 5 + 5^{2} = 0$

ステップ 8.5

$a = 2 r$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(2 r + 5)}^{2} = 0$

ステップ 9

$2 r + 5$ が $0$ に等しいとします。

$2 r + 5 = 0$

ステップ 10

$r$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$2 r = - 5$

ステップ 10.2

$2 r = - 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.2.1

$2 r = - 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 10.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 10.2.2.1.2

$r$ を $1$ で割ります。

$r = \frac{- 5}{2}$

ステップ 10.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 10.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$r = - \frac{5}{2}$

ステップ 11

有限数学 例

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