有限数学例

$2 x^{4} - x^{3} - 73 x^{2} + 36 x + 36$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

ステップ 4.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - {(1)}^{3} - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

ステップ 4.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$2 - 1 \cdot 1 - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

ステップ 4.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 - 1 - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

ステップ 4.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$2 - 1 - 73 \cdot 1 + 36 (1) + 36$

ステップ 4.1.6

$- 73$ に $1$ をかけます。

$2 - 1 - 73 + 36 (1) + 36$

ステップ 4.1.7

$36$ に $1$ をかけます。

$2 - 1 - 73 + 36 + 36$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ から $1$ を引きます。

$1 - 73 + 36 + 36$

ステップ 4.2.2

$1$ から $73$ を引きます。

$- 72 + 36 + 36$

ステップ 4.2.3

$- 72$ と $36$ をたし算します。

$- 36 + 36$

ステップ 4.2.4

$- 36$ と $36$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{4} - x^{3} - 73 x^{2} + 36 x + 36}{x - 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$

ステップ 6.2

被除数 $(2)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$

	$2$

ステップ 6.3

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(2)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$
	$2$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$
	$2$	$1$

ステップ 6.5

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(- 73)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$- 72$

ステップ 6.7

結果 $(- 72)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 72)$ の結果を被除数 $(36)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$
	$2$	$1$	$- 72$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$
	$2$	$1$	$- 72$	$- 36$

ステップ 6.9

結果 $(- 36)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 36)$ の結果を被除数 $(36)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$	$- 36$
	$2$	$1$	$- 72$	$- 36$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$	$- 36$
	$2$	$1$	$- 72$	$- 36$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (- 72) x - 36$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$2 x^{3} + x^{2} - 72 x - 36$

ステップ 7

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) - 72 x - 36$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) - 36 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) - 36 (2 x + 1)$

ステップ 8

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 36)$

ステップ 9

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 6^{2})$

ステップ 10

因数分解。

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ステップ 10.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 6$ です。

$(x - 1) + (2 x + 1) ((x + 6) (x - 6))$

ステップ 10.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) + (2 x + 1) (x + 6) (x - 6)$

$(x - 1) (2 x + 1) (x + 6) (x - 6)$

ステップ 11

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 11.1

項を再分類します。

$- x^{3} + 36 x + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

ステップ 11.2

$- x$ を $- x^{3} + 36 x$ で因数分解します。

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ステップ 11.2.1

$- x$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$- x \cdot x^{2} + 36 x + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

ステップ 11.2.2

$- x$ を $36 x$ で因数分解します。

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 36 + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

ステップ 11.2.3

$- x$ を $- x (x^{2}) - x (- 36)$ で因数分解します。

$- x (x^{2} - 36) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

ステップ 11.3

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$- x (x^{2} - 6^{2}) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

ステップ 11.4

因数分解。

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ステップ 11.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 6$ です。

$- x ((x + 6) (x - 6)) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

ステップ 11.4.2

不要な括弧を削除します。

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

ステップ 11.5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 {(x^{2})}^{2} - 73 x^{2} + 36 = 0$

ステップ 11.6

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 73 u + 36 = 0$

ステップ 11.7

群による因数分解。

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ステップ 11.7.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 36 = 72$ で和が $b = - 73$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 11.7.1.1

$- 73$ を $- 73 u$ で因数分解します。

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 73 u + 36 = 0$

ステップ 11.7.1.2

$- 73$ を $- 1$ プラス $- 72$ に書き換える

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} + (- 1 - 72) u + 36 = 0$

ステップ 11.7.1.3

分配則を当てはめます。

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 1 u - 72 u + 36 = 0$

ステップ 11.7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 11.7.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 1 u - 72 u + 36 = 0$

ステップ 11.7.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- x (x + 6) (x - 6) + u (2 u - 1) - 36 (2 u - 1) = 0$

ステップ 11.7.3

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 u - 1) (u - 36) = 0$

ステップ 11.8

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 36) = 0$

ステップ 11.9

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 6^{2}) = 0$

ステップ 11.10

因数分解。

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ステップ 11.10.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 6$ です。

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) ((x + 6) (x - 6)) = 0$

ステップ 11.10.2

不要な括弧を削除します。

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6) = 0$

ステップ 11.11

$(x + 6) (x - 6)$ を $- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6)$ で因数分解します。

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ステップ 11.11.1

$(x + 6) (x - 6)$ を $- x (x + 6) (x - 6)$ で因数分解します。

$(x + 6) (x - 6) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6) = 0$

ステップ 11.11.2

$(x + 6) (x - 6)$ を $(2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6)$ で因数分解します。

$(x + 6) (x - 6) (- x) + (x + 6) (x - 6) (2 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 11.11.3

$(x + 6) (x - 6)$ を $(x + 6) (x - 6) (- x) + (x + 6) (x - 6) (2 x^{2} - 1)$ で因数分解します。

$(x + 6) (x - 6) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 11.12

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x + 6) (x - 6) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

ステップ 11.13

群による因数分解。

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ステップ 11.13.1

項を並べ替えます。

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

ステップ 11.13.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 11.13.2.1

$- 1$ を $- u$ で因数分解します。

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

ステップ 11.13.2.2

$- 1$ を $1$ プラス $- 2$ に書き換える

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

ステップ 11.13.2.3

分配則を当てはめます。

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

ステップ 11.13.2.4

$u$ に $1$ をかけます。

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

ステップ 11.13.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 11.13.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 6) (x - 6) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

ステップ 11.13.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 6) (x - 6) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

ステップ 11.13.4

最大公約数 $2 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 6) (x - 6) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

ステップ 11.14

因数分解。

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ステップ 11.14.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x + 6) (x - 6) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 11.14.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 6) (x - 6) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 12

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 13

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 14

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 14.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 14.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 15

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 15.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 15.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 15.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 15.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 15.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 15.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 15.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 15.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 15.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 15.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 16

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 16.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 16.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 17

最終解は $(x + 6) (x - 6) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 6, 6, - \frac{1}{2}, 1$

ステップ 18

有限数学 例

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