有限数学例

$| x^{2} - 5 | < 4 x$

ステップ 1

$| x^{2} - 5 | < 4 x$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x^{2} - 5 \geq 0$

ステップ 1.2

不等式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

不等式の両辺に $5$ を足します。

$x^{2} \geq 5$

ステップ 1.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{5}$

ステップ 1.2.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \geq \sqrt{5}$

ステップ 1.2.4

$| x | \geq \sqrt{5}$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \geq \sqrt{5}$

ステップ 1.2.4.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 1.2.4.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \geq \sqrt{5}$

ステップ 1.2.4.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \geq \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

ステップ 1.2.5

$x \geq \sqrt{5}$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$x \geq \sqrt{5}$

ステップ 1.2.6

$- x \geq \sqrt{5}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$- x \geq \sqrt{5}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

ステップ 1.2.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

ステップ 1.2.6.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

ステップ 1.2.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.3.1

$\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{5}$

ステップ 1.2.6.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{5}$ を $- \sqrt{5}$ に書き換えます。

$x \leq - \sqrt{5}$

ステップ 1.2.7

解の和集合を求めます。

$x \leq - \sqrt{5}$ または $x \geq \sqrt{5}$

ステップ 1.3

$x^{2} - 5$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x^{2} - 5 < 4 x$

ステップ 1.4

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x^{2} - 5 < 0$

ステップ 1.5

不等式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

不等式の両辺に $5$ を足します。

$x^{2} < 5$

ステップ 1.5.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{5}$

ステップ 1.5.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | < \sqrt{5}$

ステップ 1.5.4

$| x | < \sqrt{5}$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 1.5.4.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x < \sqrt{5}$

ステップ 1.5.4.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 1.5.4.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x < \sqrt{5}$

ステップ 1.5.4.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x < \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x < \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

ステップ 1.5.5

$x < \sqrt{5}$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x < \sqrt{5}$

ステップ 1.5.6

$x < 0$ のとき、 $- x < \sqrt{5}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.1

$- x < \sqrt{5}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.1.1

$- x < \sqrt{5}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

ステップ 1.5.6.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

ステップ 1.5.6.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

ステップ 1.5.6.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.1.3.1

$\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x > - 1 \cdot \sqrt{5}$

ステップ 1.5.6.1.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{5}$ を $- \sqrt{5}$ に書き換えます。

$x > - \sqrt{5}$

ステップ 1.5.6.2

$x > - \sqrt{5}$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- \sqrt{5} < x < 0$

ステップ 1.5.7

解の和集合を求めます。

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

ステップ 1.6

$x^{2} - 5$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- (x^{2} - 5) < 4 x$

ステップ 1.7

区分で書きます。

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - (x^{2} - 5) < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

ステップ 1.8

$- (x^{2} - 5) < 4 x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

分配則を当てはめます。

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} - - 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

ステップ 1.8.2

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} + 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

ステップ 2

$x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5}$ のとき、 $x^{2} - 5 < 4 x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ について $x^{2} - 5 < 4 x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

不等式の両辺から $4 x$ を引きます。

$x^{2} - 5 - 4 x < 0$

ステップ 2.1.2

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 5 - 4 x = 0$

ステップ 2.1.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 - 4 x$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $- 4$ です。

$- 5, 1$

ステップ 2.1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 5) (x + 1) = 0$

ステップ 2.1.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2.1.5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.1.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.1.6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.1.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.1.7

最終解は $(x - 5) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 1$

ステップ 2.1.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 2.1.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 2.1.9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{2} - 5 < 4 (- 4)$

ステップ 2.1.9.1.3

左辺 $11$ は右辺 $- 16$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.1.9.2

区間 $- 1 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.2.1

区間 $- 1 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.1.9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} - 5 < 4 (0)$

ステップ 2.1.9.2.3

左辺 $- 5$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.1.9.3

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.3.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 2.1.9.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

${(8)}^{2} - 5 < 4 (8)$

ステップ 2.1.9.3.3

左辺 $59$ は右辺 $32$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.1.9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

ステップ 2.1.10

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 < x < 5$

ステップ 2.2

$- 1 < x < 5$ と $x \leq - \sqrt{5} o r + x \geq \sqrt{5}$ の交点を求めます。

$\sqrt{5} \leq x < 5$

ステップ 3

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ のとき、 $- x^{2} + 5 < 4 x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ について $- x^{2} + 5 < 4 x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

不等式の両辺から $4 x$ を引きます。

$- x^{2} + 5 - 4 x < 0$

ステップ 3.1.2

不等式を方程式に変換します。

$- x^{2} + 5 - 4 x = 0$

ステップ 3.1.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$- 1$ を $- x^{2} + 5 - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

$5$ を移動させます。

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

ステップ 3.1.3.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

ステップ 3.1.3.1.3

$- 1$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

ステップ 3.1.3.1.4

$5$ を $- 1 (- 5)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

ステップ 3.1.3.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - (4 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

ステップ 3.1.3.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ で因数分解します。

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

ステップ 3.1.3.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 5$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $4$ です。

$- 1, 5$

ステップ 3.1.3.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

ステップ 3.1.3.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

ステップ 3.1.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 3.1.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.1.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 3.1.6

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 3.1.6.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 3.1.7

最終解は $- (x - 1) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 5$

ステップ 3.1.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 3.1.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.9.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.9.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 3.1.9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$- {(- 8)}^{2} + 5 < 4 (- 8)$

ステップ 3.1.9.1.3

左辺 $- 59$ は右辺 $- 32$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.1.9.2

区間 $- 5 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.9.2.1

区間 $- 5 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 3.1.9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$- {(0)}^{2} + 5 < 4 (0)$

ステップ 3.1.9.2.3

左辺 $5$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 3.1.9.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.9.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 3.1.9.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$- {(4)}^{2} + 5 < 4 (4)$

ステップ 3.1.9.3.3

左辺 $- 11$ は右辺 $16$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.1.9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 3.1.10

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 5$ または $x > 1$

ステップ 3.2

$x < - 5 or x > 1$ と $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ の交点を求めます。

$1 < x < \sqrt{5}$

ステップ 4

解の和集合を求めます。

$1 < x < 5$

ステップ 5

不等式を区間記号に変換します。

$(1, 5)$

ステップ 6

有限数学 例

有限数学例