有限数学例

$x^{2} + 3 x + 8 > 3 - 3 x$

ステップ 1

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

不等式の両辺に $3 x$ を足します。

$x^{2} + 3 x + 8 + 3 x > 3$

ステップ 1.2

$3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$x^{2} + 6 x + 8 > 3$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + 6 x + 8 = 3$

ステップ 3

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x^{2} + 6 x + 8 - 3 = 0$

ステップ 4

$8$ から $3$ を引きます。

$x^{2} + 6 x + 5 = 0$

ステップ 5

たすき掛けを利用して $x^{2} + 6 x + 5$ を因数分解します。

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ステップ 5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $5$ で、その和が $6$ です。

$1, 5$

ステップ 5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 1) (x + 5) = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 7

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 8

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 9

最終解は $(x + 1) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - 5$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$x > - 1$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

${(- 8)}^{2} + 3 (- 8) + 8 > 3 - 3 \cdot - 8$

ステップ 11.1.3

左辺 $48$ は右辺 $27$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.2

区間 $- 5 < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- 5 < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

${(- 3)}^{2} + 3 (- 3) + 8 > 3 - 3 \cdot - 3$

ステップ 11.2.3

左辺 $8$ は右辺 $12$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.3

区間 $x > - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $x > - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} + 3 (0) + 8 > 3 - 3 \cdot 0$

ステップ 11.3.3

左辺 $8$ は右辺 $3$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < - 1$ 偽

$x > - 1$ 真

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < - 1$ 偽

$x > - 1$ 真

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 5$ または $x > - 1$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 5) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 14

有限数学 例

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