有限数学例

$x + \frac{12}{x} < 7$

ステップ 1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x, 1$

ステップ 1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 2

$x + \frac{12}{x} < 7$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$x + \frac{12}{x} < 7$ の各項に $x$ を掛けます。

$x \cdot x + \frac{12}{x} x < 7 x$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + \frac{12}{x} x < 7 x$

ステップ 2.2.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + \frac{12}{x} x < 7 x$

ステップ 2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} + 12 < 7 x$

ステップ 3

不等式を解きます。

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ステップ 3.1

不等式の両辺から $7 x$ を引きます。

$x^{2} + 12 - 7 x < 0$

ステップ 3.2

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + 12 - 7 x = 0$

ステップ 3.3

たすき掛けを利用して $x^{2} + 12 - 7 x$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $- 7$ です。

$- 4, - 3$

ステップ 3.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x - 3) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 3.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 3.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.7

最終解は $(x - 4) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, 3$

ステップ 4

$x + \frac{12}{x} - 7$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{12}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$(- 2) + \frac{12}{- 2} < 7$

ステップ 6.1.3

左辺 $- 8$ は右辺 $7$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.2

区間 $0 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $0 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$(2) + \frac{12}{2} < 7$

ステップ 6.2.3

左辺 $8$ は右辺 $7$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.3

区間 $3 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.3.1

区間 $3 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3.5$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $3.5$ で置き換えます。

$(3.5) + \frac{12}{3.5} < 7$

ステップ 6.3.3

左辺 $6.9\overline{285714}$ は右辺 $7$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 6.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$(6) + \frac{12}{6} < 7$

ステップ 6.4.3

左辺 $8$ は右辺 $7$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 3$ 偽

$3 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < 0$ 真

$0 < x < 3$ 偽

$3 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $3 < x < 4$

ステップ 8

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, 0) \cup (3, 4)$

ステップ 9

有限数学 例

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