有限数学例

$\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3} > 0$

ステップ 1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 2

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 2}$ を ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

積の法則を ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3}$ に当てはめます。

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.2

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.2.2.2

式を書き換えます。

${(x + 2)}^{1} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.3

簡約します。

$(x + 2) {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.4

${\sqrt{x - 3}}^{2}$ を $x - 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 3}$ を ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$(x + 2) {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.4.4.2

式を書き換えます。

$(x + 2) {(x - 3)}^{1} > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.4.5

簡約します。

$(x + 2) (x - 3) > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x - 3)$ を展開します。

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ステップ 2.2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 3) + 2 (x - 3) > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.5.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3) > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.5.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.2.1.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.6.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.6.1.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6 > 0^{2}$

ステップ 2.2.1.6.2

$- 3 x$ と $2 x$ をたし算します。

$x^{2} - x - 6 > 0^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{2} - x - 6 > 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - x - 6 = 0$

ステップ 3.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 3.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 2) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 3.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 3.6

最終解は $(x - 3) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 2$

ステップ 4

$\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.1

$\sqrt{x + 2}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x + 2 \geq 0$

ステップ 4.2

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$x \geq - 2$

ステップ 4.3

$\sqrt{x - 3}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x - 3 \geq 0$

ステップ 4.4

不等式の両辺に $3$ を足します。

$x \geq 3$

ステップ 4.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[3, \infty)$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\sqrt{(- 4) + 2} \sqrt{(- 4) - 3} > 0$

ステップ 6.1.3

左辺 $3.74165738$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.2

区間 $- 2 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $- 2 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\sqrt{(0) + 2} \sqrt{(0) - 3} > 0$

ステップ 6.2.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.3

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.3.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\sqrt{(6) + 2} \sqrt{(6) - 3} > 0$

ステップ 6.3.3

左辺 $4.89897948$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 2$ または $x > 3$

ステップ 8

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 2) \cup (3, \infty)$

ステップ 9

有限数学 例

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