有限数学例

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} < y + 2$

ステップ 1

不等式の両辺から $y$ を引きます。

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$4 y, 3, 1, 1$

ステップ 2.2

Since $4 y, 3, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

ステップ 2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 2.4

$4$ には $2$ と $2$ の因数があります。

$2 \cdot 2$

ステップ 2.5

$3$ には、 $1$ と $3$ 以外に因数がないため。

$3$ は素数です

ステップ 2.6

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 2.7

$4, 3, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$2 \cdot 2 \cdot 3$

ステップ 2.8

$2 \cdot 2 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \cdot 3$

ステップ 2.8.2

$4$ に $3$ をかけます。

$12$

ステップ 2.9

$y^{1}$ の因数は $y$ そのものです。

$y^{1} = y$

$y$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.10

$y^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$y$

ステップ 2.11

$4 y, 3, 1, 1$ の最小公倍数は数値部分 $12$ に変数部分を掛けたものです。

$12 y$

ステップ 3

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ の各項に $12 y$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ の各項に $12 y$ を掛けます。

$\frac{1}{4 y} (12 y) - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$12 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$4 (3) \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.2.2

$4$ を $4 y$ で因数分解します。

$4 (3) \frac{1}{4 (y)} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.2.4

式を書き換えます。

$3 \frac{1}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.3

$3$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$3 - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.5.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$3 + \frac{- 1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.5.2

$3$ を $12 y$ で因数分解します。

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.5.3

共通因数を約分します。

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.5.4

式を書き換えます。

$3 - (4 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$3 - 4 y - y (12 y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y \cdot y < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.8

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.8.1

$y$ を移動させます。

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 (y \cdot y) < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.8.2

$y$ に $y$ をかけます。

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y^{2} < 2 (12 y)$

ステップ 3.2.1.9

$- 1$ に $12$ をかけます。

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 2 (12 y)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$12$ に $2$ をかけます。

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 24 y$

ステップ 4

不等式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$y$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

不等式の両辺から $24 y$ を引きます。

$3 - 4 y - 12 y^{2} - 24 y < 0$

ステップ 4.1.2

$- 4 y$ から $24 y$ を引きます。

$3 - 12 y^{2} - 28 y < 0$

ステップ 4.2

不等式を方程式に変換します。

$3 - 12 y^{2} - 28 y = 0$

ステップ 4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4

$a = - 12$ 、 $b = - 28$ 、および $c = 3$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot 3)}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

$- 28$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.5.1.2

$- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.2.1

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.5.1.2.2

$48$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.5.1.3

$784$ と $144$ をたし算します。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.5.1.4

$928$ を $4^{2} \cdot 58$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.4.1

$16$ を $928$ で因数分解します。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.5.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.5.2

$2$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

ステップ 4.5.3

$\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ を簡約します。

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

ステップ 4.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

ステップ 4.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1.1

$- 28$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.6.1.2

$- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1.2.1

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.6.1.2.2

$48$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.6.1.3

$784$ と $144$ をたし算します。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.6.1.4

$928$ を $4^{2} \cdot 58$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1.4.1

$16$ を $928$ で因数分解します。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.6.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.6.2

$2$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

ステップ 4.6.3

$\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ を簡約します。

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

ステップ 4.6.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

ステップ 4.6.5

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

ステップ 4.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1.1

$- 28$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.7.1.2

$- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1.2.1

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.7.1.2.2

$48$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.7.1.3

$784$ と $144$ をたし算します。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.7.1.4

$928$ を $4^{2} \cdot 58$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1.4.1

$16$ を $928$ で因数分解します。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.7.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 4.7.2

$2$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

ステップ 4.7.3

$\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ を簡約します。

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

ステップ 4.7.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

ステップ 4.7.5

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

ステップ 4.8

解をまとめます。

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

ステップ 5

$\frac{1}{4 y} - y - \frac{7}{3}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{4 y}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$4 y = 0$

ステップ 5.2

$4 y = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$4 y = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 5.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{0}{4}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$y = 0$

ステップ 5.3

定義域は式が定義になる $y$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

区間 $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

区間 $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = - 5$

ステップ 7.1.2

$y$ を元の不等式の $- 5$ で置き換えます。

$\frac{1}{4 (- 5)} - \frac{1}{3} < (- 5) + 2$

ステップ 7.1.3

左辺 $- 0.38\overline{3}$ は右辺 $- 3$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.2

区間 $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

区間 $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = - 1$

ステップ 7.2.2

$y$ を元の不等式の $- 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{4 (- 1)} - \frac{1}{3} < (- 1) + 2$

ステップ 7.2.3

左辺 $- 0.58\overline{3}$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.3

区間 $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

区間 $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 0.05$

ステップ 7.3.2

$y$ を元の不等式の $0.05$ で置き換えます。

$\frac{1}{4 (0.05)} - \frac{1}{3} < (0.05) + 2$

ステップ 7.3.3

左辺 $4.\overline{6}$ は右辺 $2.05$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.4

区間 $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

区間 $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 3$

ステップ 7.4.2

$y$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\frac{1}{4 (3)} - \frac{1}{3} < (3) + 2$

ステップ 7.4.3

左辺 $- 0.25$ は右辺 $5$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ 偽

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ 真

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ 偽

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ 真

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ 偽

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ 真

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ 偽

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ 真

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ または $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

ステップ 9

不等式を区間記号に変換します。

$(- \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, 0) \cup (- \frac{7 - \sqrt{58}}{6}, \infty)$

ステップ 10

有限数学 例

有限数学例