有限数学例

$- 5 x^{2} + 22 x + 0.5 < 20$

ステップ 1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 1.1

不等式の両辺から $20$ を引きます。

$- 5 x^{2} + 22 x + 0.5 - 20 < 0$

ステップ 1.2

$0.5$ から $20$ を引きます。

$- 5 x^{2} + 22 x - 19.5 < 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$- 5 x^{2} + 22 x - 19.5 = 0$

ステップ 3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4

$a = - 5$ 、 $b = 22$ 、および $c = - 19.5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot - 19.5)}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$22$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.1.2

$- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.1.2.2

$20$ に $- 19.5$ をかけます。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.1.3

$484$ から $390$ を引きます。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

ステップ 5.3

$\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ を簡約します。

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

ステップ 6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$22$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 6.1.2.2

$20$ に $- 19.5$ をかけます。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 6.1.3

$484$ から $390$ を引きます。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 6.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

ステップ 6.3

$\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ を簡約します。

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

ステップ 6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

ステップ 7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$22$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 7.1.2

$- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ を掛けます。

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ステップ 7.1.2.1

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 7.1.2.2

$20$ に $- 19.5$ をかけます。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 7.1.3

$484$ から $390$ を引きます。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 7.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

ステップ 7.3

$\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ を簡約します。

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

ステップ 7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = \frac{22 + \sqrt{94}}{10}, \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$- 5 {(0)}^{2} + 22 (0) + 0.5 < 20$

ステップ 10.1.3

左辺 $0.5$ は右辺 $20$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.2

区間 $\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$- 5 {(2)}^{2} + 22 (2) + 0.5 < 20$

ステップ 10.2.3

左辺 $24.5$ は右辺 $20$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.3

区間 $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$- 5 {(6)}^{2} + 22 (6) + 0.5 < 20$

ステップ 10.3.3

左辺 $- 47.5$ は右辺 $20$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ 真

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ 偽

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ 真

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ 真

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ 偽

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ 真

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ または $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, \frac{22 - \sqrt{94}}{10}) \cup (\frac{22 + \sqrt{94}}{10}, \infty)$

ステップ 13

有限数学 例

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