有限数学例

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (64) + \frac{1}{2} \cdot \log_{b} (9) - \log_{b} (12)$

ステップ 1

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\frac{2}{3}$ と $\log_{b} (64)$ をまとめます。

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} + \frac{1}{2} \log_{b} (9) - \log_{b} (12)$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{2}$ と $\log_{b} (9)$ をまとめます。

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} + \frac{\log_{b} (9)}{2} - \log_{b} (12)$

ステップ 2

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} + \frac{\log_{b} (9)}{2} - \log_{b} (12)$ の各項に $6$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} + \frac{\log_{b} (9)}{2} - \log_{b} (12)$ の各項に $6$ を掛けます。

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} \cdot 6 + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (12) \cdot 6$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$6$ を $\log_{b} (x)$ の左に移動させます。

$6 \log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} \cdot 6 + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (12) \cdot 6$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$6 \log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} \cdot (3 (2)) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (12) \cdot 6$

ステップ 2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

$6 \log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64)}{3} \cdot (3 \cdot 2) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (12) \cdot 6$

ステップ 2.3.1.1.3

式を書き換えます。

$6 \log_{b} (x) = 2 \log_{b} (64) \cdot 2 + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (12) \cdot 6$

ステップ 2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (64) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (12) \cdot 6$

ステップ 2.3.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (64) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot (2 (3)) - \log_{b} (12) \cdot 6$

ステップ 2.3.1.3.2

共通因数を約分します。

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (64) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \log_{b} (12) \cdot 6$

ステップ 2.3.1.3.3

式を書き換えます。

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (64) + \log_{b} (9) \cdot 3 - \log_{b} (12) \cdot 6$

ステップ 2.3.1.4

$3$ を $\log_{b} (9)$ の左に移動させます。

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (64) + 3 \cdot \log_{b} (9) - \log_{b} (12) \cdot 6$

ステップ 2.3.1.5

$6$ に $- 1$ をかけます。

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (64) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (12)$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

対数の中の $6$ を移動させて $6 \log_{b} (x)$ を簡約します。

$\log_{b} (x^{6}) = 4 \log_{b} (64) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (12)$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$4 \log_{b} (64) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (12)$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1

対数の中の $4$ を移動させて $4 \log_{b} (64)$ を簡約します。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64^{4}) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (12)$

ステップ 4.1.1.2

$64$ を $4$ 乗します。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16777216) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (12)$

ステップ 4.1.1.3

対数の中の $3$ を移動させて $3 \log_{b} (9)$ を簡約します。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16777216) + \log_{b} (9^{3}) - 6 \log_{b} (12)$

ステップ 4.1.1.4

$9$ を $3$ 乗します。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16777216) + \log_{b} (729) - 6 \log_{b} (12)$

ステップ 4.1.1.5

対数の中の $6$ を移動させて $- 6 \log_{b} (12)$ を簡約します。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16777216) + \log_{b} (729) - \log_{b} (12^{6})$

ステップ 4.1.1.6

$12$ を $6$ 乗します。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16777216) + \log_{b} (729) - \log_{b} (2985984)$

ステップ 4.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16777216 \cdot 729) - \log_{b} (2985984)$

ステップ 4.1.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{16777216 \cdot 729}{2985984})$

ステップ 4.1.4

$16777216$ と $2985984$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1

$4096$ を $16777216 \cdot 729$ で因数分解します。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096 (4096 \cdot 729)}{2985984})$

ステップ 4.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.2.1

$4096$ を $2985984$ で因数分解します。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096 (4096 \cdot 729)}{4096 (729)})$

ステップ 4.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096 (4096 \cdot 729)}{4096 \cdot 729})$

ステップ 4.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096 \cdot 729}{729})$

ステップ 4.1.5

$729$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.5.1

共通因数を約分します。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096 \cdot 729}{729})$

ステップ 4.1.5.2

$4096$ を $1$ で割ります。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096)$

ステップ 5

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$x^{6} = 4096$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{4096}$

ステップ 6.2

$\pm \sqrt[6]{4096}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$4096$ を $4^{6}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[6]{4^{6}}$

ステップ 6.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 4$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4$

ステップ 6.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4$

ステップ 6.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 4$

有限数学 例

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