有限数学例

$\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$

ステップ 1

$\sqrt{x - 4}$ について解きます。

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ステップ 1.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, \sqrt{x - 4}, 1$

ステップ 1.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$\sqrt{x - 4}$

ステップ 1.2

$\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$ の各項に $\sqrt{x - 4}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.1

$\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$ の各項に $\sqrt{x - 4}$ を掛けます。

$\sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$\sqrt{x - 4}$ に $\sqrt{x - 4}$ をかけます。

${\sqrt{x - 4}}^{2} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

ステップ 1.2.2.1.2

$\sqrt{x - 4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1.2.1

$- \frac{2}{\sqrt{x - 4}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

${\sqrt{x - 4}}^{2} + \frac{- 2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

ステップ 1.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

${\sqrt{x - 4}}^{2} + \frac{- 2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

ステップ 1.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 = 1 \sqrt{x - 4}$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$\sqrt{x - 4}$ に $1$ をかけます。

${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 = \sqrt{x - 4}$

ステップ 1.3

方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

方程式の両辺から $\sqrt{x - 4}$ を引きます。

${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 - \sqrt{x - 4} = 0$

ステップ 1.3.2

たすき掛けを利用して ${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 - \sqrt{x - 4}$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 1.3.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(\sqrt{x - 4} - 2) (\sqrt{x - 4} + 1) = 0$

ステップ 1.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sqrt{x - 4} - 2 = 0$

$\sqrt{x - 4} + 1 = 0$

ステップ 1.3.4

$\sqrt{x - 4} - 2$ を $0$ に等しくし、 $\sqrt{x - 4}$ を解きます。

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ステップ 1.3.4.1

$\sqrt{x - 4} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$\sqrt{x - 4} - 2 = 0$

ステップ 1.3.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\sqrt{x - 4} = 2$

ステップ 1.3.5

$\sqrt{x - 4} + 1$ を $0$ に等しくし、 $\sqrt{x - 4}$ を解きます。

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ステップ 1.3.5.1

$\sqrt{x - 4} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\sqrt{x - 4} + 1 = 0$

ステップ 1.3.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sqrt{x - 4} = - 1$

ステップ 1.3.6

最終解は $(\sqrt{x - 4} - 2) (\sqrt{x - 4} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$\sqrt{x - 4} = 2, - 1$

ステップ 2

$\sqrt{x - 4} = 2$ の $x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x - 4}}^{2} = 2^{2}$

ステップ 2.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 4}$ を ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

ステップ 2.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x - 4)}^{1} = 2^{2}$

ステップ 2.2.2.1.2

簡約します。

$x - 4 = 2^{2}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x - 4 = 4$

ステップ 2.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4 + 4$

ステップ 2.3.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = 8$

ステップ 3

$\sqrt{x - 4} = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x - 4}}^{2} = {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 4}$ を ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x - 4)}^{1} = {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.2.2.1.2

簡約します。

$x - 4 = {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x - 4 = 1$

ステップ 3.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 1 + 4$

ステップ 3.3.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$x = 5$

ステップ 4

すべての解をまとめます。

$x = 8, 5$

ステップ 5

$\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = 8$

有限数学 例

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