有限数学例

$7 \sin^{2} (x) - 14 \sin (x) + 2 = 5$

ステップ 1

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$7 {(u)}^{2} - 14 u + 2 = 5$

ステップ 2

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$7 u^{2} - 14 u + 2 - 5 = 0$

ステップ 2.2

$2$ から $5$ を引きます。

$7 u^{2} - 14 u - 3 = 0$

ステップ 3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4

$a = 7$ 、 $b = - 14$ 、および $c = - 3$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot - 3)}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 14$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 7 \cdot - 3}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.1.2

$- 4 \cdot 7 \cdot - 3$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

$- 4$ に $7$ をかけます。

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 28 \cdot - 3}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.1.2.2

$- 28$ に $- 3$ をかけます。

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 84}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.1.3

$196$ と $84$ をたし算します。

$u = \frac{14 \pm \sqrt{280}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.1.4

$280$ を $2^{2} \cdot 70$ に書き換えます。

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ステップ 5.1.4.1

$4$ を $280$ で因数分解します。

$u = \frac{14 \pm \sqrt{4 (70)}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 70}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{2 \cdot 7}$

ステップ 5.2

$2$ に $7$ をかけます。

$u = \frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{14}$

ステップ 5.3

$\frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{14}$ を簡約します。

$u = \frac{7 \pm \sqrt{70}}{7}$

ステップ 6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}, \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

ステップ 7

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}, \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

ステップ 8

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}$

$\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

ステップ 9

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 9.1

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $\frac{7 + \sqrt{70}}{7}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 10

$\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{7 - \sqrt{70}}{7})$

ステップ 10.2

右辺を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\arcsin (\frac{7 - \sqrt{70}}{7})$ の値を求めます。

$x = - 0.19649053$

ステップ 10.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 0.19649053$

ステップ 10.4

$x$ について解きます。

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ステップ 10.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 0.19649053$

ステップ 10.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 0.19649053$

ステップ 10.4.3

$3.14159265$ と $0.19649053$ をたし算します。

$x = 3.33808319$

ステップ 10.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 10.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 10.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 10.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 10.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 10.6.1

$2 π$ を $- 0.19649053$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.19649053 + 2 π$

ステップ 10.6.2

$2 π$ から $0.19649053$ を引きます。

$6.08669476$

ステップ 10.6.3

新しい角をリストします。

$x = 6.08669476$

ステップ 10.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 3.33808319 + 2 π n, 6.08669476 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

すべての解をまとめます。

$x = 3.33808319 + 2 π n, 6.08669476 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

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