有限数学例

$7^{x} + 7^{- x} = 50$

ステップ 1

$7^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$7^{x} + {(7^{x})}^{- 1} = 50$

ステップ 2

$u$ を $7^{x}$ に代入します。

$u + u^{- 1} = 50$

ステップ 3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u + \frac{1}{u} = 50$

ステップ 4

$u$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 4.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 4.2

$u + \frac{1}{u} = 50$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 4.2.1

$u + \frac{1}{u} = 50$ の各項に $u$ を掛けます。

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 50 u$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

ステップ 4.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

ステップ 4.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{2} + 1 = 50 u$

ステップ 4.3

方程式を解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $50 u$ を引きます。

$u^{2} + 1 - 50 u = 0$

ステップ 4.3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.3.3

$a = 1$ 、 $b = - 50$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{50 \pm \sqrt{{(- 50)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.4

簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.4.1.1

$- 50$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 4.3.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.4.1.3

$2500$ から $4$ を引きます。

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2496}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.4.1.4

$2496$ を $8^{2} \cdot 39$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.4.1.4.1

$64$ を $2496$ で因数分解します。

$u = \frac{50 \pm \sqrt{64 (39)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.4.1.4.2

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{50 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$

ステップ 4.3.4.3

$\frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$ を簡約します。

$u = 25 \pm 4 \sqrt{39}$

ステップ 4.3.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = 25 + 4 \sqrt{39}, 25 - 4 \sqrt{39}$

ステップ 5

$25 + 4 \sqrt{39}$ を $u = 7^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

ステップ 6

$25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ を解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$ として書き換えます。

$7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$

ステップ 6.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (7^{x}) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

ステップ 6.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (7^{x})$ を展開します。

$x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

ステップ 6.4

$x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ の各項を $\ln (7)$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.1

$x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ の各項を $\ln (7)$ で割ります。

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$\ln (7)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

ステップ 6.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

ステップ 7

$25 - 4 \sqrt{39}$ を $u = 7^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

ステップ 8

$25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ を解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$ として書き換えます。

$7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$

ステップ 8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (7^{x}) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

ステップ 8.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (7^{x})$ を展開します。

$x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

ステップ 8.4

$x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ の各項を $\ln (7)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.4.1

$x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ の各項を $\ln (7)$ で割ります。

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

ステップ 8.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1

$\ln (7)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

ステップ 8.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

ステップ 9

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

10進法形式：

$x = 2.01017645 \dots, - 2.01017645 \dots$

有限数学 例

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