有限数学例

$| x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} | = 7$

ステップ 1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = \pm 7$

ステップ 2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

ステップ 2.2

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

ステップ 2.2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

ステップ 2.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} \cdot 2 - {(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

ステップ 2.2.3

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

ステップ 2.3

両辺に $2$ を掛けます。

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2$

ステップ 2.4.1.1.2

式を書き換えます。

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = 7 \cdot 2$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$7$ に $2$ をかけます。

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = 14$

ステップ 2.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

方程式の両辺から $14$ を引きます。

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} - 14 = 0$

ステップ 2.5.2

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} - 14$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$2 x^{2} - ((x - 1) (x - 1)) - 14 = 0$

ステップ 2.5.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 14 = 0$

ステップ 2.5.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 14 = 0$

ステップ 2.5.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

ステップ 2.5.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

ステップ 2.5.2.1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x^{2} - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

ステップ 2.5.2.1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$2 x^{2} - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

ステップ 2.5.2.1.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

ステップ 2.5.2.1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x + 1) - 14 = 0$

ステップ 2.5.2.1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$2 x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) - 14 = 0$

ステップ 2.5.2.1.4

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 - 14 = 0$

ステップ 2.5.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.5.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 - 14 = 0$

ステップ 2.5.2.1.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 - 14 = 0$

ステップ 2.5.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$x^{2} + 2 x - 1 - 14 = 0$

ステップ 2.5.2.3

$- 1$ から $14$ を引きます。

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

ステップ 2.5.3

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 15$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $2$ です。

$- 3, 5$

ステップ 2.5.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 5) = 0$

ステップ 2.5.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 2.5.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.5.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.5.6

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 2.5.6.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 2.5.7

最終解は $(x - 3) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 5$

ステップ 2.6

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

ステップ 2.7

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

ステップ 2.7.2

項を簡約します。

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ステップ 2.7.2.1

$x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

ステップ 2.7.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} \cdot 2 - {(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

ステップ 2.7.3

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

ステップ 2.8

両辺に $2$ を掛けます。

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = - 7 \cdot 2$

ステップ 2.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = - 7 \cdot 2$

ステップ 2.9.1.1.2

式を書き換えます。

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 7 \cdot 2$

ステップ 2.9.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1

$- 7$ に $2$ をかけます。

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 14$

ステップ 2.10

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1.1

方程式の両辺に $14$ を足します。

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} + 14$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1.2.1.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$2 x^{2} - ((x - 1) (x - 1)) + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1.2.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2.1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x^{2} - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2.1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$2 x^{2} - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2.1.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2.1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x + 1) + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2.1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$2 x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2.1.4

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1.2.1.5.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2.1.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$x^{2} + 2 x - 1 + 14 = 0$

ステップ 2.10.1.2.3

$- 1$ と $14$ をたし算します。

$x^{2} + 2 x + 13 = 0$

ステップ 2.10.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.10.3

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 13$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.10.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.10.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 13$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.10.4.1.2.2

$- 4$ に $13$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 52}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.10.4.1.3

$4$ から $52$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.10.4.1.4

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.10.4.1.5

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.10.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.10.4.1.7

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.4.1.7.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.10.4.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.10.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.10.4.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.10.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.10.4.3

$\frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm 2 i \sqrt{3}$

ステップ 2.10.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + 2 i \sqrt{3}, - 1 - 2 i \sqrt{3}$

ステップ 2.11

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 5, - 1 + 2 i \sqrt{3}, - 1 - 2 i \sqrt{3}$

有限数学 例

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