有限数学例

$\frac{1}{2} \cdot \log_{5} (81) = \log_{5} (3 x)$

ステップ 1

方程式を $\log_{5} (3 x) = \frac{1}{2} \cdot \log_{5} (81)$ として書き換えます。

$\log_{5} (3 x) = \frac{1}{2} \cdot \log_{5} (81)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $\log_{5} (81)$ をまとめます。

$\log_{5} (3 x) = \frac{\log_{5} (81)}{2}$

ステップ 3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\log_{5} (3 x) - \frac{\log_{5} (81)}{2} = 0$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

$\log_{5} (81)$ を $\log_{5} (3^{4})$ に書き換えます。

$\log_{5} (3 x) - \frac{\log_{5} (3^{4})}{2} = 0$

ステップ 4.2

$4$ を対数の外に移動させて、 $\log_{5} (3^{4})$ を展開します。

$\log_{5} (3 x) - \frac{4 \log_{5} (3)}{2} = 0$

ステップ 4.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$2$ を $4 \log_{5} (3)$ で因数分解します。

$\log_{5} (3 x) - \frac{2 (2 \log_{5} (3))}{2} = 0$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\log_{5} (3 x) - \frac{2 (2 \log_{5} (3))}{2 (1)} = 0$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$\log_{5} (3 x) - \frac{2 (2 \log_{5} (3))}{2 \cdot 1} = 0$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$\log_{5} (3 x) - \frac{2 \log_{5} (3)}{1} = 0$

ステップ 4.3.2.4

$2 \log_{5} (3)$ を $1$ で割ります。

$\log_{5} (3 x) - (2 \log_{5} (3)) = 0$

ステップ 4.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\log_{5} (3 x) - 2 \log_{5} (3) = 0$

ステップ 5

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1

$\log_{5} (3 x) - 2 \log_{5} (3)$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \log_{5} (3)$ を簡約します。

$\log_{5} (3 x) - \log_{5} (3^{2}) = 0$

ステップ 5.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\log_{5} (3 x) - \log_{5} (9) = 0$

ステップ 5.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{5} (\frac{3 x}{9}) = 0$

ステップ 5.1.3

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.3.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\log_{5} (\frac{3 (x)}{9}) = 0$

ステップ 5.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.3.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\log_{5} (\frac{3 x}{3 \cdot 3}) = 0$

ステップ 5.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\log_{5} (\frac{3 x}{3 \cdot 3}) = 0$

ステップ 5.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\log_{5} (\frac{x}{3}) = 0$

ステップ 6

対数の定義を利用して $\log_{5} (\frac{x}{3}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$5^{0} = \frac{x}{3}$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $\frac{x}{3} = 5^{0}$ として書き換えます。

$\frac{x}{3} = 5^{0}$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 \frac{x}{3} = 3 \cdot 5^{0}$

ステップ 7.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{x}{3} = 3 \cdot 5^{0}$

ステップ 7.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 3 \cdot 5^{0}$

ステップ 7.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

$3 \cdot 5^{0}$ を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x = 3 \cdot 1$

ステップ 7.3.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$x = 3$

有限数学 例

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