有限数学例

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

各項を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x - 1, x + 1, 1, (x + 1) (x - 1)$

ステップ 2.2

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 2.3

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 2.4

$1, 1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 2.5

$x - 1$ の因数は $x - 1$ そのものです。

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.6

$x + 1$ の因数は $x + 1$ そのものです。

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.7

$x - 1$ の因数は $x - 1$ そのものです。

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.8

$x - 1, x + 1, x + 1, x - 1$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$(x - 1) (x + 1)$

ステップ 3

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ の各項に $(x - 1) (x + 1)$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ の各項に $(x - 1) (x + 1)$ を掛けます。

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x + 1 - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.2.1.2

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$- \frac{1}{x + 1}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.2.1.2.2

$x + 1$ を $(x - 1) (x + 1)$ で因数分解します。

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.2.1.2.4

式を書き換えます。

$x + 1 - (x - 1) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$x + 1 - x - - 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.2.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x + 1 - x + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$x + 1 - x + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.2.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$0 + 1 + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.2.2.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$1 + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.2.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$(x - 1) (x + 1)$ に $1$ をかけます。

$2 = (x - 1) (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 = x (x + 1) - 1 (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 = x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 = x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.3.1.3

$x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.1.3.1

$x \cdot 1$ と $- 1 x$ について因数を並べ替えます。

$2 = x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.3.1.3.2

$1 x$ から $1 x$ を引きます。

$2 = x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.3.1.3.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$2 = x \cdot x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.3.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.4.1

$x$ に $x$ をかけます。

$2 = x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.3.1.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.3.1.5

$(x - 1) (x + 1)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.5.1

$(x - 1) (x + 1)$ を $(x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x - 1) (x + 1) (1)} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.3.1.5.2

共通因数を約分します。

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x - 1) (x + 1) \cdot 1} ((x - 1) (x + 1))$

ステップ 3.3.1.5.3

式を書き換えます。

$2 = x^{2} - 1 + 2$

ステップ 3.3.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$2 = x^{2} + 1$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $x^{2} + 1 = 2$ として書き換えます。

$x^{2} + 1 = 2$

ステップ 4.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} = 2 - 1$

ステップ 4.2.2

$2$ から $1$ を引きます。

$x^{2} = 1$

ステップ 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 4.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 4.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 4.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 5

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1}$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

有限数学 例

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